Лекция 14. Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные

Лекция 14. Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли Линейные однородные
Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при
Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки:
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y)
Пример. Уравнение является однородным, так как функции: - однородные второго порядка Пусть: 5
Линейные дифференциальные уравнения ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде:
Подставим в уравнение (3): Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было
Пример. Таким образом, общее решение уравнения: При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С не
Уравнение Бернулли Уравнение вида Называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается также, как и линейное
Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным ДУ с постоянными коэффициентами
При решении уравнения (6) возможны следующие случаи: Корни уравнения (6) k1 и k2 действительны
Корни уравнения (6) k1 и k2 действительны и равные: В этом случае частным решением
Уравнение (6) не имеет действительных корней: 13 Общим решением будет: Составим характеристическое уравнение: где
Скачать презентацию Лекция 14. Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные Скачать презентацию Лекция 14. Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные

lektsia_14_dif_ur_2.ppt

  • Количество слайдов: 13

>Лекция 14. Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли Линейные однородные Лекция 14. Дифференциальные уравнения Однородные дифференциальные уравнения Линейные дифференциальные уравнения Уравнения Бернулли Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 1

>Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель k вся функция умножится на kn: Однородные дифференциальные уравнения Например, функция является однородной функцией второго порядка, так как: Дифференциальное уравнение называется однородным, если f(x, у) есть однородная функция нулевого порядка. (1) 2

>Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки: Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки: 3

>Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y) Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: Уравнение (2) будет однородным, если P(x; y) и Q(x; y) – однородные функции одинакового порядка. При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку: (2) 4

>Пример. Уравнение является однородным, так как функции: - однородные второго порядка Пусть: 5 Пример. Уравнение является однородным, так как функции: - однородные второго порядка Пусть: 5

>Линейные дифференциальные уравнения ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: Линейные дифференциальные уравнения ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: Метод Бернулли. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки: Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю. (3) 6

>Подставим в уравнение (3): Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было Подставим в уравнение (3): Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*) Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x) (*) 7

>Пример. Таким образом, общее решение уравнения: При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С не Пример. Таким образом, общее решение уравнения: При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С не прибавляется При нахождении функции u(x) произвольная постоянная С прибавляется Положим: 8

>Уравнение Бернулли Уравнение вида Называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается также, как и линейное Уравнение Бернулли Уравнение вида Называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается также, как и линейное уравнение методом Бернулли. (4) 9

>Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным ДУ с постоянными коэффициентами Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным ДУ с постоянными коэффициентами называется уравнение вида. (5) 10 Уравнение соответственно на (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ (5). Для его составления достаточно в уравнении (5) заменить

>При решении уравнения (6) возможны следующие случаи: Корни уравнения (6) k1 и k2 действительны При решении уравнения (6) возможны следующие случаи: Корни уравнения (6) k1 и k2 действительны и различны: В этом случае частными решениями уравнения (5) будут функции: 11 общим решением уравнения (5) будет: Составим характеристическое уравнение:

>Корни уравнения (6) k1 и k2 действительны и равные: В этом случае частным решением Корни уравнения (6) k1 и k2 действительны и равные: В этом случае частным решением уравнения (5) будут функции 12 общим решением уравнения (5) будет: Составим характеристическое уравнение:

>Уравнение (6) не имеет действительных корней: 13 Общим решением будет: Составим характеристическое уравнение: где Уравнение (6) не имеет действительных корней: 13 Общим решением будет: Составим характеристическое уравнение: где