Лекция 14 Дифференциальные уравнения Ø Однородные дифференциальные уравнения

Лекция 14. Дифференциальные уравнения Ø Однородные дифференциальные уравнения Ø Линейные дифференциальные уравнения Ø Уравнения Бернулли Ø Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами 1

Однородные дифференциальные уравнения Функция y = f(x, у) называется однородной функцией n – ого порядка, если при умножении каждого ее аргумента на n произвольный множитель k вся функция умножится на k : Например, функция является однородной функцией второго порядка, так как: Дифференциальное уравнение (1) называется однородным, если f(x, функция нулевого порядка. у) есть однородная 2

Однородное дифференциальное уравнение вида (1) приводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи подстановки: 3

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: (2) Уравнение (2) будет однородным, если P(x; однородные функции одинакового порядка. y) и Q(x; y) – При интегрировании уравнения вида (2) можно сначала привести его к виду (1) или сразу сделать подстановку: 4

Пример. Уравнение является однородным, так как функции: - однородные второго порядка Пусть: 5

Линейные дифференциальные уравнения ДУ первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде: (3) Метод Бернулли. Решение уравнения ищется в виде произведения двух функций, то есть с помощью подстановки: Где u(x) и v(x) – неизвестные функции, причем одна из них произвольная функция, не равная нулю. 6

Подставим в уравнение (3): (* ) Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение, стоящее в скобках было равно нулю, то есть решим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: Подставим найденную функцию v(x) в уравнение (*) Получим еще одно уравнение с разделяющимися переменными, решив которое найдем функцию u(x) 7

Пример. =0 Положим: При нахождении функции v(x) произвольная постоянная С не прибавляется Таким При нахождении решение u(x) образом, общее функции уравнения: произвольная постоянная С прибавляется 8

Уравнение Бернулли Уравнение вида (4) Называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли решается также, как и линейное уравнение методом Бернулли. 9

Линейные однородные ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами Линейным однородным ДУ с постоянными коэффициентами называется уравнение вида. (5) Уравнение (6) называется характеристическим уравнением ЛОДУ (5). Для его составления достаточно в уравнении (5) заменить соответственно на 10

При решении уравнения (6) возможны следующие случаи: Корни уравнения (6) k 1 и k 2 действительны и различны: В этом случае частными решениями уравнения (5) будут функции: общим решением уравнения (5) будет: Составим характеристическое уравнение: 11

Корни уравнения (6) k 1 и k 2 действительны и равные: В этом случае частным решением уравнения (5) будут функции общим решением уравнения (5) будет: Составим характеристическое уравнение: 12

Уравнение (6) не имеет действительных корней: Общим решением будет: где Составим характеристическое уравнение: 13