Лекция 14 -15 Рекурсия это

* Лекция 14 -15

Рекурсия — это такой способ организации вычислительного процесса, при котором процедура или функция в ходе выполнения обращается сама к себе. Рекурсия широко применяется в математике. В качестве примера дадим рекурсивное определение суммы первых п натуральных чисел. Сумма первых п натуральных чисел равна сумме первых (п — 1) натуральных чисел плюс n, а сумма первого числа равна 1. Или: Sn= Sn-1+n, S 1=1. Опишем функцию, которая вычисляет сумму, пользуясь данным определением: function sum(n: integer): integer; begin if n=1 then sum: =1 else sum: =sum(n-1)+n; end;

Текст функции может вызвать сомнения в его правильности: суммируется большое количество слагаемых, но при этом не используется цикл. Операция суммирования будет повторяться ровно n-1 раз, поскольку функция sum обращается n-1 раз к самой себе, при этом параметр каждый раз уменьшается на единицу. В конце концов параметр станет равным 1, и рекурсивные вызовы закончатся, после чего все уже вызванные функции одна за другой завершат свою работу. Рекурсивная процедура условие окончания if n=1 then sum=1. или функция содержит всегда

При выполнении рекурсивной ветви else sum: =sum(n-1)+n процесс выполнения подпрограммы приостанавливается, но его переменные не удаляются из стека. Происходит новый вызов подпрограммы, переменные которой также помещаются в стек, и т. д. Так образуется последовательность прерванных процессов, из которых выполняется всегда последний, а по окончании его работы продолжает выполняться предыдущий процесс. Целиком весь процесс считается выполненным, когда стек опустеет, или, другими словами, все прерванные процессы выполнятся. Рекурсия полезна, прежде всего, в случаях, когда основную задачу можно разделить на подзадачи, имеющие ту же структуру, что и первоначальная задача. Не следует путать рекурсию с итерацией, которая реализуется при помощи циклов. Большинство алгоритмов можно способами: итерацией и рекурсией. реализовать двумя

* • рекурсивная форма организации алгоритма обычно выглядит изящнее итерационной и дает более компактный текст программ, • если глубина рекурсии очень велика, то это может привести к переполнению стека; • рекурсивные алгоритмы, как правило, выполняются более медленно; • при рекурсивном программировании велика вероятность ошибок зацикливания.

Рекурсия — это очень мощный инструмент решения многих задач. Но пользоваться им следует достаточно сдержанно и осторожно. Если задача имеет очевидное нерекурсивное решение, то следует избрать именно его. Вряд ли рекурсию можно рекомендовать для нахождения суммы. Рекурсивная функция sum приведена лишь в целях иллюстрации механизма рекурсии.

Пример. Рекурсивное решение задачи разбиения натурального числа на цифры. В данном примере цифры выводятся в обратном порядке. var n: integer; procedure reverse(n: integer); begin write(n mod 10); if (n div 10) <> 0 then reverse (n div 10) end; begin writeln('Введите натуральное число <= ', maxint); readln(n); reverse(n); readln; end.

Помимо прямых рекурсий, рассмотренных выше, существуют рекурсии с так называемым косвенным вызовом, при котором одна подпрограмма вызывает другую подпрограмму, вызывающущю, в свою очередь, первую подпрограмму. А поскольку подпрограмма обязательно должна быть описана до ее вызова, должно использоваться опережающее описание заголовка подпрограммы. Описывается один только заголовок, вслед за которым ставится зарезервированное слово forward (опережающий), а полное описание процедуры помещается далее в тексте программы. Такое описание называется определяющим. В определяющем описании можно не указывать формальные параметры, т. к. они уже известны из опережающего описания.

Например: var a, b: real; procedure p 1(x: real); forward; procedure р2(у: real); begin … p 1 (а); … end; procedure p 1; begin … р2(а); … end; begin р2(а); p 1(b); end.

Как видно из примера, опережающее описание процедуры p 1 позволило использовать обращение к ней из процедуры р2, т. к. при трансляции компилятору еще до вызова процедуры p 1 из опережающего описания становятся известны ее формальные параметры, и он может правильно организовать ее вызов.

* Самовызов процедуры ничем не отличается от вызова другой процедуры. Что происходит, если одна процедура вызывает другую: • в памяти размещаются процедуре; • в другом месте памяти сохраняются значения внутренних переменных вызывающей процедуры; • • • запоминается адрес возврата в вызывающую процедуру; параметры, передаваемые управление передается вызванной процедуре. Если процедуру вызвать повторно из другой процедуры или из нее самой, будет выполняться тот же код, но работать он будет с другими значениями параметров и внутренних переменных. Это и дает возможность рекурсии.

Пример. Рекурсивная процедура Power( X, N, Y) возводит число X в степень N и возвращает результат Y. Procedure Power (X: real; N: integer; var Y: real); Begin If N=0 then Y: = 1 Else Begin Power(X, N-1, Y); Y: = Y*X; End ;

Проследим за состоянием памяти в процессе выполнения вызова данной процедуры Power(5, 3, Y).

Число копий переменных, одновременно находящихся в памяти, называется глубиной рекурсии. Как видно из примера, сначала она растет, а затем сокращается. На этом примере видно, что для описания рекурсивного решения необходимы две четко определенные вещи: • правило, по которому решение задачи в сложном случае сводится к решению такой же задачи, но в более простом случае; • условие, при котором дальнейшее упрощение нужно прекратить. При отсутствии этого условия упрощение будет продолжаться до бесконечности.

* В основе быстрой сортировки лежит принцип разбиения. Сначала выбирается некоторое значение в качестве "основы" и затем весь массив разбивается на две части. Одну часть составляют все элементы, равные или большие "основы", а другую часть составляют все элементы меньшего значения, по которому делается разбиение. Этот процесс продолжается для оставшихся частей до тех пор, пока весь массив не будет отсортирован.

type mas=array [1. . 20] of integer; var a: mas; i, n: integer; procedure qs(l, r: integer); var i, j, x, y: integer; begin i: =l; j: =r; x: =a[(l+r) div 2]; repeat while a[i]j;

if l

* 1. Составить опорный конспект лекции по теме «Рекуррентные выражения. Рекурсия: прямая и косвенная» на основе презентации. 2. Turbo Pascal. Немнюгин С. А. СПб. : Питер, 2002, стр. 304332. Написать программы с процедур или функций: • • использованием рекурсивных Нахождение факториала натурального числа. Нахождение суммы элементов массива.