Лекция 13 Применение свойств движений к решению задач

Лекция 13. Применение свойств движений к решению задач элементарной геометрии. Литература. [1] § 51.

Применение преобразований к решению задач элементарной геометрии • геометрические преобразования применяются для упрощения задачи, для отыскания закономерностей, позволяющих определить решение. При этом рассматривается либо образ всей фигуры, либо её части. Применяя движение при решении задачи элементарной геометрии, следует помнить, что оно преобразует элементы фигуры в соответствующие элементы её образа. Например, высоты треугольника преобразуются в высоты, центр вписанной окружности - в центр вписанной окружности образа и т. д.

Пример1 • Даны две пересекающиеся окружности равных радиусов, расстояние между центрами которых равно m. Прямая l, параллельная линии центров, пересекает первую окружность в токах A и B, а вторую - в точках С и D (лучи AB и CD сонаправлены). Найти длину отрезка АС.

Пример 2 • Доказать, что в трапеции разность длин оснований по модулю больше абсолютной величины разности длин боковых сторон

Пример 3 • На прямой l даны три точки A, B и C, причем точка В лежит между A и C. На отрезках AB и BC построены равносторонние треугольники АВP и ВСQ так, что вершины P и Q лежат в одной полуплоскости относительно прямой l. M середина отрезка АQ, a N середина СP. Доказать, что треугольник ВMN также является равносторонним.

Пример 4 • Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до боковых сторон равна длине высоты, опущенной из вершины основания на боковую сторону.

Пример 5 • Дан треугольник АВС, CL - биссектриса его внешнего угла, M произвольная точка луча СL. Доказать, что.