Лекция 13 Преобразования Лоренца и следствия из них приводят к выводу об относительности длин и промежутков времени, значение которых в различных системах отсчета разное. В то же время в теории Эйнштейна существуют реальные физические величины, не зависящие от системы отсчета, т. е. являющиеся инвариантными по отношению к преобразованиям координат.
В четырехмерном пространстве Эйнштейна, в котором каждое событие характеризуется четырьмя координатами ( ), такой физической величиной является интервал между двумя событиями: (38. 1) где - расстояние между точками трехмерного пространства, в которых эти события произошли. Если , то получим
Через обозначения выражение (38. 1) в системе К можно записать в виде Интервал между теми же событиями в системе К' равен (38. 2)
Согласно преобразованиям Лоренца (36. 3), Подставив эти значения в (38. 2), после элементарных преобразований получим, что т. е. Таким образом, интервал между двумя событиями одинаков во всех ИСО.
Интервал между двумя событиями, происшедшими с некоторой частицей, находится в простом соотношении с промежутком собственного времени между этими событиями. Промежуток собственного времени связан с промежутком времени , отсчитанным по часам системы, относительно которой частица движется со скоростью , формулой Преобразуем формулу следующим образом путь, который проходит частица за Здесь промежуток времени.
- интервал между событиями, разделенными промежутком времени. Промежуток собственного времени пропорционален интервалу между событиями. Но интервал является инвариантом. Следовательно, собственное время также является инвариантом, т. е. не зависит от того, в какой системе отсчета наблюдается движение данного тела.
В соответствии с определением интервал может быть вещественным (если ) либо мнимым (если ). В частном случае интервал может оказаться равным нулю (если ). Последний случай имеет место для событий, заключающихся в испускании светового сигнала из точки приходе этого сигнала в точку Поскольку в этом случае этими событиями равен нулю. в момент и в момент , интервал между .
В силу инвариантности интервал, вещественный (мнимый) в одной какой-либо системе отсчета К, будет вещественным (мнимым) в любой другой инерциальной системе отсчета К'. В случае вещественного интервала Можно найти такую систему К', в которой , т. е. оба события оказываются пространственно совмещенными. Однако не существует такой системы отсчета, в которой было бы (при таком значении интервал стал бы мнимым). События, разделенные вещественным интервалом, ни в одной из систем отсчета не могут стать одновременными. Вещественные интервалы – времени подобные.
События, происходящие с одной и той же частицей (имеется в виду частица с массой отличной от нуля), могут быть разделены только времени подобным интервалом. Действительно, скорость такой частицы всегда меньше скорости света; следовательно, путь , пройденный частицей, меньше. Отсюда вытекает, что. Вспомним одну из формул преобразований Лоренца Если промежутки и разделяют события, происшедшие с той же самой частицей, то дает компоненту скорости частицы.
Приведенную формулу можно переписать в виде Поскольку и , и меньше единицы, скобка в правой части равенства для всех систем К' положительна. Отсюда следует, что знак одинаков со знаком. Это означает, что два события, происходящие с некоторой частицей, во всех системах совершаются в одинаковой последовательности. Например, рождение частицы во всех системах отсчета предшествует ее распаду.
В случае мнимого интервала Можно найти такую систему К', в которой , т. е. оба события происходят в один и тот же момент времени. Однако не существует такой системы отсчета, в которой было бы (при таком значении интервал стал бы вещественным). Таким образом, события, разделенные мнимым интервалом, ни в одной из систем отсчета не могут оказаться пространственно совмещенными. Мнимые интервалы - пространственноподобные.
Расстояние между точками, в которых происходят события, разделенные пространственноподобным интервалом, превышает. Поэтому рассматриваемые события никак не могут оказать влияние друг на друга, т. е. не могут быть причинно связанными друг с другом (не существует воздействий, распространяющихся со скоростью, большей, чем скорость света!). Причинно связанные события могут быть разделены лишь времениподобным либо нулевым интервалом.
Интервал, определяя пространственновременные соотношения между событиями, является инвариантом при переходе от одной ИСО к другой. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность длин и промежутков времени, течение событий носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.
СТО сформулировала новое представление о пространстве и времени. Пространственно-временные отношения являются не абсолютными величинами, как утверждала механика Галилея-Ньютона, а относительными. Следовательно, представления об абсолютном пространстве и времени являются несостоятельными. Инвариантность интервала между двумя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически связаны между собой и образуют единую форму существования материи пространство-время. Пространство и время не существуют вне материи и независимо от нее.
Дальнейшее развитие теории относительности показало, что свойства пространства-времени в данной области определяются действующими в ней полями тяготения. При переходе к космическим масштабам геометрия пространства-времени не является евклидовой (т. е. не зависящей от размеров области пространства-времени), а изменяется от одной области к другой в зависимости от концентрации масс в этих областях и их движения.
Второй закон Ньютона инвариантен относительно преобразований Галилея. В области больших скоростей эти преобразования теряют силу и уступают место преобразованиям Лоренца. Для сохранения инвариантности второго закона Ньютона преобразованиям Лоренца оказывается достаточно изменить определение импульса. Релятивистский импульс записывается в виде (1)
При использования для импульса формулы (1) второй закон Ньютона принимает вид (2) Второй закон Ньютона, представленный соотношением (3) может использоваться и в классической механике, и в теории относительности. В первом случае импульс считается равным , во втором определяется выражением (1).
Второй закон Ньютона, представленный в виде (4) пригоден только в классической теории. Особенностью уравнения (2) является то, что в соответствии с этим уравнением ускорение тела может не совпадать по направлению с действующей силой. Для доказательства этого утверждения преобразуем (2) так, чтобы ускорение тела было представлено отдельным членом слева, как это имеет место в соотношении (4). Вводят величину , называемую полной энергией тела: (5)
Подставим соотношение (5) в уравнение (2) и преобразуем его к виду (6) Первое слагаемое есть мощность, поскольку Для второго слагаемого вспомним выражение (5). В результате выражение (6) перепишем в виде (7)
Но тогда выражение (4) преобразуется к виду: (8) В левых частях уравнений (4) и (8) стоит произведение массы тела на его ускорение Правые части содержат силу , вызывающую ускорение. В нерелятивистском случае (выражение (4)) направление векторов ускорения и силы совпадают, а их величины пропорциональны другу. Это лежит в основе определения массы как меры инертности тела.
В релятивистском законе динамики в общем случае направления векторов и не совпадают. Нарушается и пропорциональность между величинами ускорения и массы. Как видно из уравнения (8), лишь в двух частных случаях направление ускорения совпадает с направлением силы. В первом случае сила перпендикулярна скорости (и ). Во втором – сила всегда действует по направлению скорости.
Рассмотрим полную и кинетическую энергии частицы, а также так называемую энергию покоя. Умножим скалярно правую часть уравнения (2) на , а левую - на величину , равную . Тогда правая часть будет выражать элементарную работу . Левую часть приведем к виду, вспоминая введенную ранее величину :
(9)
Аналогичным образом ранее вводилась кинетическая энергия. Введенная сейчас полная энергия имеет более богатое содержание. Эта величина сугубо положительная, причем и в состоянии покоя она не равна нулю. При полная энергия называется энергией покоя (10) Формула (10) устанавливает взаимосвязь энергии покоя тела и его массы и показывает, что масса и энергия представлены в любом теле в пропорциональных количествах. Каждое изменение энергии покоя тела неизбежно сопровождается пропорциональным изменением его массы.
В обычных масштабах энергия покоя чрезвычайно велика. В одном грамме вещества содержится около 1014 Дж. Пока научились извлекать лишь малую часть этой энергии. Так как значение велико, то в соответствии с формулой (10) заметным изменениям энергии соответствуют весьма малые изменения массы. Например, вполне измеримое увеличение внутренней энергии 1 кг воды при нагревании на 100 0 С изменяет ее массу примерно на 5 10 -9 г, что нельзя обнаружить с помощью самых чувствительных весов.
Энергия покоя представляет собой внутреннюю энергию частицы или тела, не связанную с движением тела как целого и его взаимодействием с внешними силовыми полями. В случае сложного тела, состоящего из многих частиц, его энергия покоя складывается из энергии покоя частиц, их кинетической энергии (обусловленной движением частиц относительно центра инерции тела) и потенциальной энергии взаимодействия частиц между собой. Потенциальная энергия частиц во внешнем поле в энергию покоя не включается, так же как и в полную энергию.
Полная энергия включает и энергию движения, т. е. кинетическую энергию. Поэтому кинетическая энергия тела определяется как разность между полной энергией и энергией покоя: (11) В нерелятивистском случае, когда
Подстановка этого выражения в (11) дает: (12) что совпадает с классическим выражением для кинетической энергии. Выразив из (1) скорость через импульс и подставив в (5), получим связь полной энергии и импульса: (13) (14)
В правой части (14) стоит постоянная величина. Поэтому и левая часть уравнения (14) не зависит от выбора системы отсчета. Взятые отдельно друг от друга, энергия и импульс относительны, т. е. различны в разных ИСО. Однако, взятые совместно в виде комбинации они образуют абсолютную характеристику состояния частицы, инвариантную относительно преобразований Лоренца. Из инвариантности этой величины вытекает релятивистская взаимосвязь импульса и энергии - при переходе из одной ИСО в другую, импульс и энергия частицы изменяются так, что комбинация остается неизменной.
Разделив друг на друга левые и правые части обоих соотношений (1) и (5), получим еще одну релятивистскую формулу: (15) Перепишем уравнение (13) в виде: (16) Рассмотрим два предельных случая: 1) 2)
При имеет место следующая формула для приближенных вычислений: Применив эту формулу к соотношению (16), найдем, что при (17) Разность представляет собой кинетическую энергию частицы Тогда из (17) следует:
Полученное выражение представляет собой нерелятивистскую связь импульса и кинетической энергии и совпадает с выражением (12), полученным иным путем. Учитывая, что неравенство соответствует неравенству , видим, что рассмотренный случай означает переход к механике Ньютона. Противоположный случай, когда , что, с учетом (1) означает, что скорость частицы весьма близка к скорости света. При в (16) единицей под корнем можно пренебречь, после чего получим: (18)
Частицы, для которых выполняется это соотношение, т. е. энергию которых можно считать пропорциональной импульсу, называются ультрарелятивистскими. Используя (18), неравенство можно переписать в виде: . Это означает, что полная энергия ультрарелятивистских частиц намного больше их энергии покоя. Поэтому такие частицы способны к множественному рождению других частиц. Например, если ультрарелятивистские частицы присутствуют в космических лучах, то при их столкновениях с атомами атмосферы возникают так называемые ливни из множества рожденных частиц.
Важная особенность соотношения (13) состоит в том, что оно не утрачивает смысл при. Это указывает на принципиальную возможность существования частиц с нулевой массой. Формула (13) для таких частиц принимает вид: (19) причем, в отличие от (18), равенство (19) является точным. Подставив (19) в (15), получаем, весьма важный физический результат: , т. е. частицы с движутся со скоростью света. Таким образом, движение со скоростью света является единственной возможной формой существования частиц с нулевой массой.
Особо следует отметить, что движение таких частиц со скоростью света не есть результат предшествующего ускорения. Частицы с обладают световыми скоростями непосредственно в момент их образования, т. е. эти скорости для них являются врожденными, изначальными. Представителями таких частиц являются фотоны.
Чтобы охарактеризовать прочность связи и устойчивость системы каких-либо частиц (например, атомного ядра как системы из протонов и нейтронов), вводят понятие энергии связи. Энергия связи системы равна работе, которую необходимо затратить, чтобы разложить эту систему на составные части (например - атомное ядро - на протоны и нейтроны). Энергия связи системы (20) где - масса -ой частицы в свободном состоянии; - масса системы, состоящей из частиц. Закон взаимосвязи массы и энергии блестяще подтвержден экспериментом о выделении энергии протекании ядерных реакций.
Скачать презентацию Лекция 13 Преобразования Лоренца и следствия из них
Презентация лекции 13.ppt