Скачать презентацию Лекция 13 Электронная структура твердых тел Модель
Лекция 13 Эл стр-ра.ppt
- Количество слайдов: 15
Лекция 13 Электронная структура твердых тел § Модель газа свободных электронов, подчиняющихся законам классической физики (теория Друде и Лоренца) позволила дать теоретическое обоснование законов Ома, Джоуля-Ленца и качественно объяснить закон Видемана-Франца, согласно которому отношение коэффициента теплопроводности к коэффициенту электропроводности изменяется пропорционально абсолютной температуре (T). . В классической теории считается, что электроны, пробегая в среднем путь , сталкиваются с ионами, образующими кристаллическую решетку и это приводит к установлению теплового равновесия между электронным газом и решеткой. Причем средняя скорость теплового движения электронов равна
При наложении электрического поля с напряженностью Е на хаотическое тепловое движение электронов накладывается упорядоченное движение со средней скоростью и плотность тока j=ne где n-концентрация электронов в единице объема, е-заряд электрона. В таком случае можно получить закон Ома в следующем виде где коэффициент называется проводимостью и = 1/ - удельное электросопротивление Проблемы: üне объясняется температурная зависимость электросопротивления металлов ( вместо реальной =1/ ~ Т); üнельзя обосновать, почему молярная теплоемкость металлов и диэлектриков мало отличаются друг и друга и при температурах выше некоторой характеристической ( D- температура Дебая) близки к величине СА = 3 R (согласно классической теории Сэ=3/2 R и суммарная теплоемкость металла казалось бы должна быть 3 R+3/2 R=9/2 R? ? ? )
Электронная структура металлов • Модель газа свободных электронов, движение которых подчиняется законам квантовой механики и описывается статистикой Ферми (Зоммерфельд) При абсолютном нуле для размещения N таких электронов в фазовом пространстве (пространстве импульсов и обыкновенного пространства) необходимо N/2 ячеек объемом h 3 (h=6. 63. 10 -34 Дж. с): где v-объем обыкновенного пространства, занятый электронами; - объем в пространстве импульсов, причем ро- максимальное значение импульса электронов Т. к . , где mo-масса электрона и - энергия электронов, то где о – граничная (максимальная) энергия электронов, называемая энергией Ферми. (Для металлов о 1 э. В, т. е значительно превосходит энергию теплового движения).
Вероятность иметь энергию для электрона описывается функцией Ферми: f( ) T=0 K 1 Функция распределения Ферми при T=0 и Т> 0 K. T>0 K 0 o Как видно, при абсолютном нуле электронами заняты все состояния с о. Появления электронов с большей энергией можно ожидать лишь когда энергия средняя теплового движения станет соизмеримой с энергией Ферми. Если рассчитать температуру «вырождения» электронного газа o для металлов, при которой может наступить это явление (k o= о), то окажется, что эта температура намного превосходит температуру плавления металлов (обычно o 104 К). Т. е. функция Ферми при 0 К хорошо описывает состояние электронов в твердых металлах
Найдем число электронных состояний с энергией от до +d , разделив объем шарового слоя в фазовом пространстве, лежащий между p и р+dр на h 3: где n( ) – плотность числа состояний (функция распределения электронов по энергиям). Как видно, пропорциональна n( ) В ОЦК ГЦК Функция распределения электронов по энергиям для свободных (----) и почти свободных электронов в ГЦК и ОЦК-решетках.
Введем понятие волнового вектора k p= k или, учитывая, что p=h/ , получим волновое число k=2 / Энергия электрона при этом равна =р2/2 mo=(h 2/8 2 mo)k 2. Таким образом оказывается непрерывной функцией от волнового вектора, причем зависимость от k является изотропной для разных направлений k. Поэтому изолинии равной энергии в К-пространстве представляют собой сферы, а зависимость (k) вдоль одного направления k показана на рис. =const k k При 0 К должны быть заняты все состояния в К-пространстве внутри сферы с радиусом о, т. е. сферы Ферми.
Электронная теплоемкость В рамках описанной модели становится ясным, что тепловое возбуждение могут испытывать лишь электроны, лещащие в тонком слое шириной k. T вблизи уровня Ферми и эти электроны ведут себя как простой электронный газ с энергией 3/2 k. T И только эти электроны могут внести вклад в теплоемкость металла. Их долю, в первом приближении, можно оценить как (k. T/ o). Увеличение энергии 1 моля металла, благодаря вкладу электронов: Электронная молярная теплоемкость, учитывая, что k o= о
Электронная теплоемкость линейно зависит от температуры При комнатной температуре электронная теплоемкость (cэл~10 -1… 10 -2 R) мала по сравнению с теплоемкостью решетки (обусловленной колебаниями атомов) и равной 3 R. Однако при очень низких температурах (Т<< D) cэл оказывается выше теплоемкости решетки, равной согласно теории Дебая cреш 234 R (Т/ D)3 Температурная зависимость решеточной и электронной теплоемкостей. На вставке приведены экспериментальные значения полной теплоемкости для сплава Cr-20 % V
Электропроводность С точки зрения квантовой теории при наложении электрического поля на металл добавочную скорость могут приобрести только те электроны, энергия которых находится вблизи поверхности Ферми, т. е. , по-сути, те электроны, которые принимают участие в теплоемкости металла. При этом выражение для электропроводности не меняется по форме (по сравнению с полученным в рамках классической теории) но в данном случае v-скорость электронов с энергией близкой к энергии Ферми. Её значение велико и при нагреве оно практически не меняется. Кроме того, в данной формуле величина m представляетя собой так называемую эффективную массу электрона, отражащая взаимодействие электрона с периодическим полем решетки. Эффективная масса может превышать или быть меньше, чем масса электрона покоя, и даже стать отрицательной величиной.
Следовательно, температурная зависимость электропроводности (или электросопротивления) определяется изменением длины свободного пробега . Вполне удовлетворительное совпадение экспериментальных и расчетных значений получается, если принять 10 -6 см. Величина определяется взаимодействием движущихся электронов с ионным остовом решетки, а линейная температурная зависимость электросопротивления =1/ при достаточно высоких температурах объясняется прямо пропорциональной зависимостью между и средним квадратом амплитуды тепловых колебаний атомов , которая по теории Дебая при высоких температурах Т/М. ( D- температура Дебая, М- масса атома). Таким образом при T> D Т/М.
§ Модель почти свободных электронов учитывает периодичность кристаллической решетки Основные результаты при этом сводятся к следующему: На кривой зависимости от k появляются разрывы при k 1, k 2 и т. д. . Причем вдоль разных направлений в К-пространстве значения чисел k 1, k 2 и т. д. оказываются разными, т. е. пространство становится анизотропным. В К-пространстве существуют зоны (например, между –k 1 и k 1), внутри которых изменение Е присходит непрерывно. Эти зоны называются зонами Бриллюэна. На границе зон Бриллюэна наблюдается скачок . Форма поверхности Ферми приближении к границам зоны Бриллюэна значительно отклоняется от сферической Кривая зависимости от k для электронов в периодическом поле кристалла -k 2 -k 1 k 2
Зоны Бриллюэна К-пространство можно рассматривать как обратное пространство (введенное ранее в курсе рентгенографии) с увеличенным масштабом (в 2 раз). Для обратной решетки в обратном пространстве: a) вектор g. HKLперпендикулярен плоскости (hkl); б) g. HKL =n/dhkl в) H=nh, K=nk, L=nl n=1, 2, 3………. Объем I зоны Бриллюэна для примитивной кубической ячейки, т. е. объем К-пространства, приходящийся на один узел, очевидно, равен (Vo)* = (2 /а)3 Построение зон Бриллюэна для примитивной кубической решетки
Особенности зонной структуры кристаллов При описании зонной структуры рассмотрению подлежат лишь самые верхние уровни каждого атома, которые в твердом теле расширяются в полосы. Схема зонной структуры ионного кристалла (на примере Na. Cl). В Na. Cl атом Na отдает свой 3 s-электрон в 3 pзону атома Cl. Поэтому 3 p-зона Cl полностью заполняется и содержит все 6 электронов, а 3 s-зона Na является незаполненной На рисунке также показаны дискретные уровни внутри запрещенной зоны, обусловленные Ширина запрещенной зоны составляет очень большую величину Даже при температуре плавления наличием примесей и дефектов. примерно Na. Cl (8010 C) ширина этой зоны 70 k. T, т. е переход электронов из валентной 3 p-зоны в 3 s-зону проводимости практически невозможен.
Зонная структура металлов Наиболее важной особенностью металлов является то, что в них валентная зона не целиком занята электронами. Точнее, валентная зона в металлах содержит незанятые уровни, расположенные выше уровня Ферми, причем электронные зоны перекрываются (s и р или s и d). Для щелочных металлов уровень Ферми лежит значительно ниже области перекрытия. У щелочно-земельных металлов уровень Ферми лежит в области перекрытия зон Плотность состояний как функция энергии для непереходных металлов При возбуждении электроны, заполненных уровней, близких к уровню Ферми, могут легко переходить на незанятые уровни, причем для этого требуется ничтожная энергия. Например, в случае Na электрон, находящийся на уроне Ферми, может возбудиться, поглотив всего 10 -9 э. В.
Зонная структура полупроводников Энергетические уровни полупроводника Ширина запрещенной зоны в большинстве случаев невелика. Например, для Ge и Si – 0. 75 и 1. 21 э. В. Но при этом для алмаза ширина запрещенной зоны очень большая - 7 э. В, а для -Sn - всего 0. 08 э. В. Вследствие небольшой величины запрещенной зоны в полупроводниковых веществах возможен переход электронов в зону проводимости в результате теплового возбуждения. Поэтому в ростом температуры электросопротивление полупроводников падает.