Лекция 12 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА Сведения из

Лекция 12 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

§§ Сведения из истории 1785 – закон взаимодействия точечных зарядов (закон Кулона) 1820 – действие электрического тока на магнитную стрелку (Эрстед) 1831 – открытие явления электромагнитной индукции (Фарадей) 1860 – теория электромагнитного поля согласно Максвеллу, переменное ЭП всегда связано с порождаемым им МП, и наоборот.

Максвелл установил существование единого электромагнитного поля, которое, в зависимости от СО, проявляет себя как электрическое, либо как магнитное поле Теория Максвелла сыграла большую роль в понимании электрических явлений. Она объяснила известные факты и предсказала новые и важные явления. 03

§§ Первое уравнение Максвелла ЭСП (поле силы Кулона) потенциально: По определению ЭДС и закону ЭМИ: 04

если S и L = const, то Для результирующего поля получаем 1 -е уравнение Максвелла т. е. если (МП переменное, то) возникает вихревое электрическое поле 05

§§ Второе уравнение Максвелла При включении конденсатор заряжается и лампочка вспыхивает и гаснет. При периодическом переключении в цепи потечет переменный ток, связанный с перезарядкой конденсатора. Этот ток создает переменное магнитное поле. 06

Так как любое МП создается эл. током, то переменное ЭП было названо Максвеллом током смещения. Ранее было показано, что переменное МП вызывает появление вихревого ЭП. (линии вектора – замкнуты) В рассмотренном случае (и в других электромагнитных процессах) наблюдается обратное явление – всякое изменение электрического поля должно вызывать появление вихревого магнитного поля. 07

Вычислим плотность тока смещения. Поле между обкладками конденсатора: S – площадь одной обкладки, q – ее заряд. – сила тока в проводнике 08

– плотность тока смещения, который вызывает в пространстве такое же магнитное поле, что и переменное во времени электрическое поле. Поскольку jсм от координат не зависит, а только от времени, то будем писать: 09

При протекании переменного тока в среде будет существовать и ток проводимости и ток смещения: пренебрежимо мал в изоляторах при малых частотах пренебрежимо мал в металлах при малых частотах 10

В диэлектрике: электр. момент – единицы объема тогда плотность тока = + смещения поляризации Первое слагаемое – это плотность «истинного» тока смещения, не связанного с движением зарядов и выделением джоулева тепла. 11

Оно обусловлено переменным эл. полем Второе – связано с движением зарядов внутри молекул диэлектрика при поляризации (часть тока проводимости). связь силы тока и плотности тока закон полного тока второе уравнение Максвелла 12

§§ Система уравнений Максвелла 1) закон электромагнитной индукции 2) закон полного тока плотность тока проводимости 13

3) и 4) Теорема Гаусса–Остроградского для электрического и магнитного поля ρ – объемная плотность свободных зарядов. (нет «источников» МП) Интегрирование производится по произвольной замкнутой поверхности S, охватывающей объем V. 14

В случае постоянного поля уравнения распадаются на две пары независимых уравнений для ЭП и МП. Запишем полную систему уравнений Максвелла в дифференциальной форме: материальные уравнения: 15

§§ Плоская ЭМВ в диэлектрике Рассмотрим однородную и изотропную ( ) непроводящую ( ) среду Пусть в среде отсутствуют свободные заряды, тогда 16

Получаем два уравнения для ЭМП: т. к. , то 17

0 0 Пусть волна распространяется вдоль x. Если волна плоская, то все величины зависят только от координаты x: если свободных зарядов нет, то 18

Проекции на оси и y и z дают уравнения: (1) (2) отсюда следует, что изменяющееся поле вдоль оси z вызывает изменяющееся поле вдоль оси y, поэтому положим 19

Полагая и , запишем Посчитаем производную по времени второго уравнения: производную МП по времени возьмем из уравнения (1), получаем: 20

Введем обозначения для немагнитных сред (μ = 1) c = 2, 998· 108 (м/с) Полученное уравнение называется волновым уравнением для вектора 21

Общее решение волнового уравнения f – произвольная функция, υ – скорость распространения профиля распределения поля Конкретный вид функции f не определяется волновым уравнением, которое описывает всевозможные процессы, а определяется начальными условиями. 22

Найдем связь между значениями E и H: т. е. в ЭМВ векторы и строго пропорциональны другу. f = sin, cos соответствует плоской гармонической ЭМ волне 23

§§ Монохроматическая волна Волну, распространяющуюся вдоль оси x со скоростью υ, можно записать в виде выберем функцию f в виде sin или cos: A – амплитуда, T – период, […] – фаза. – начальная фаза колебаний 24

Заметим, что фаза волны не изменяется приращении аргумента на величину Расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах, называется длиной волны. Еще одна форма записи 25

– круговая частота (рад/с) – волновое число (м– 1) – фазовая скорость распространения волны (м/с) фазовая скорость от длины волны не зависит только в вакууме, в остальных средах наблюдается дисперсия. 26

Возмущения в виде монохроматических волн распространяются в средах с дисперсией без искажений. Поскольку – формула Эйлера то оказывается удобнее записывать выражения для монохроматической волны как 27

§§ Отражение и преломление ЭМВ рассмотрим границу двух изотропных однородных диэлектриков (μ = 1), на которую падает электромагнитная волна волновое число падающей волны (incident) – отраженной (reflected) – прошедшей (transmitted) 28

Уравнения можно записать в виде На границе двух сред для Э и М поля справедливы граничные условия: 29

Рассмотрим первое граничное условие поскольку это равенство должно выполняться для любых t и r (во всех точках границы), то т. е. у отраженной и проходящей волны должна быть такая же частота, что и у падающей. (индексы у ω можно опустить) 30

Проекции волнового вектора на границу раздела двух сред одинаковы Из этих равенств следует закон отражения и закон преломления: 31

Поскольку , то В волновой оптике введено обозначение – показатель преломления электромагнитная теория дает выражение для законов отражения и преломления, которые полностью совпадают с найденными экспериментально. 32