Лекция 12 Теплопроводность Связанная модель твердофазного горения Л

Лекция 12 Теплопроводность Связанная модель твердофазного горения Л. 11: Особенности реакций в твердой фазе Простейшие модели многокомпонентных сред Л. 9: Термоупругое тело, система УРС Изотропное тело Из этих моделей мы будем исходить 1

Изотропная среда Уравнение неразрывности Уравнение баланса для компонентов Уравнение энергии в форме уравнения теплопроводности Уравнение движения (Л. 11) (общая форма) Уравнение состояния Учитывая особенности превращений в твердых средах, явно «не учитываем» явления диффузии. Считаем, что их роль проявляется в кинетике (кинетических функциях) 2

Малые деформации: Частные варианты: Модель термоупругого тела теплопроводность Тепловая теория горения 3

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Согласно теории Онзагера, термодинамической силой, обусловливающей явление теплопроводности, является вектор Тогда в соответствии с этой же теорией имеем Следовательно, наше феноменологическое уравнение представляет собой закон Фурье 4

Простейшее обобщение закона Фурье для анизотропной среды заключается в том, что каждая компонента вектора теплового потока в точке является линейной функцией компонент вектора температурного градиента в этой точке. Эту систему уравнений можно разрешить относительно компонент вектора градиента - компоненты тензора коэффициентов термического сопротивления, связанные с компонентами тензора коэффициентов теплопроводности равенствами 5

и т. д. 6

Если для изотропной среды этот результат - достаточно тривиален, то для анизотропной - существенно дополняет теорию Фурье В отсутствие магнитного поля тензор коэффициентов теплопроводности - симметричен (1) Эта формула сыграла определенную историческую роль задолго до того, как Онзагер выяснил, что в ее основе лежит инвариантность относительно обращения во времени. Справедливость (1) была экспериментально доказана для кристаллов, где одной пространственной симметрии недостаточно для обеспечения симметричности тензора коэффициентов теплопроводности. Например, для тетрагонального или гексагонального кристалла (из соображений симметрии) тензор теплопроводности должен иметь форму Пространственная симметрия сама по себе не требует обращения в нуль элемента λxy в некоторых кристаллах. Это означает, что направление теплового потока в плоскости XY не будет совпадать с направлением градиента температуры. 7

Самые первые и исключительно точные эксперименты, поставленные с целью обнаружения «спирального» теплового потока были выполнены Соре и Фойгтом. Спиральный поток не обнаружен. Этот результат принадлежал к числу тех экспериментальных данных, опираясь на которые Онзагер в 1931 году установил свои соотношения симметрии, основанные на инвариантности относительно обращения времени При наличии магнитного поля (вектор напряженности магнитного поля), согласно теории Онзагера, справедливо соотношение Из формы тензора коэффициентов теплопроводности следует, что градиент температуры в x - направлении приводит к возникновению теплового потока в y- направлении и наоборот. Это явление называется эффектом Риги-Ледюка и является тепловым аналогом эффекта Холла, который имеет место для электрической проводимости в магнитном поле. Для эффекта Риги-Ледюка имеем 8

Для изотропных и кубических систем тензор коэффициентов теплопроводности сводится к скаляру, умноженному на единичный тензор Кристаллы всех классов ромбической системы имеют либо две перпендикулярные оси симметрии, либо ось симметрии и плоскость симметрии. Если одна из осей координат выбирается вдоль оси симметрии, а вторая - вдоль второй оси или в плоскости симметрии, то система коэффициентов теплопроводности запишется в виде Все классы моноклинной системы имеют либо ось симметрии (такую, что при повороте вокруг нее на 180 градусов кристалл принимает положение, конгруэнтное первоначальному), либо плоскость зеркальной симметрии. Если же ось является осью симметрии либо перпендикулярна плоскости зеркальной симметрии, то коэффициенты теплопроводности образуют следующую систему 9

Наиболее сложный вид имеет тензор коэффициентов теплопроводности для кристаллов триклинной системы, для которых нет ни осей, ни плоскостей симметрии. В таких кристаллах тензор коэффициентов теплопроводности с учетом соотношений симметрии характеризуется шестью независимыми компонентами. Важным примером анизотропного тела является так называемое ортотропное тело (например, дерево). Такое тело имеет различные коэффициенты теплопроводности в трех различных перпендикулярных направлениях Для древесины: В общем случае каждая компонента вектора потока тепла является линейной комбинацией компонент вектора температурного градиента Эту систему можно разрешить относительно градиентов - компоненты тензора коэффициентов термического сопротивления 10

Как выглядит уравнение теплопроводности и как его вывести, Вы уже хорошо знаете. Вывести уравнение можно различными способами. Используя закон Фурье или его обобщения, придем к знакомому Вам уравнению теплопроводности параболического типа (2) (3) Для анизотропного тела получаем: Выбирая должным образом систему координат, внешний вид уравнения можем упростить 11

(3) Уравнение (3) вполне пригодно для описания процессов теплопроводности в простых средах при не слишком интенсивных внешних воздействиях. В некоторых ситуациях, например при описании процессов в плазме, в структурированных средах, при моделировании динамических процессов воздействия лазерного излучения на вещество и т. д. такое уравнение перестает быть корректным, по крайней мере, для малых значений времени. В качестве примера обобщения закона Фурье на сильно неравновесные процессы можно предложить соотношение (4) В этом случае придем к уравнению теплопроводности гиперболического типа (5) 12

13

14

Тепловая теория твердофазного горения Единственная реакция реагент продукт Все «тонкие» процессы влияют на кинетику Диффузия много медленнее теплопроводности! 0 Не учитываем тепловое расширение (напряжения и деформации не влияют на скорость реакции): Теория зажигания; Теория горения; Теория теплового взрыва для КС 15

Простейшая модель твердофазного горения (1) (2) продукт реагент (3) (4) фронт (5) Первые оценки скорости распространения фронта принадлежат Новожилову Б. В. - степень превращения (доля продукта реакции) Элементарная модель процесса, которая в теории твердофазного горения изучена наиболее полно, основана на следующих положениях: 1) поле температур в волне горения одномерно; температура изменяется только в направлении перемещения фронта горения; температурные неоднородности, связанные с гетерогенностью системы, несущественны; 2) диффузионный перенос продукта горения в направлении перемещения фронта горения отсутствует; 3) скорость тепловыделения при горении определяется обычными законами, справедливыми для гомогенных 16 реакций; в зоне реакции вещества не плавятся; 4) физические параметры, характеризующие систему, не изменяются в ходе процесса

Горение + детонация Пусть теперь в термоупругой среде протекает единственная химическая реакция (1) Схема реакции (2) Плоскость симметрии (3) Соединительная смесь или (4) Соединяемые материалы Поджигание – со стороны плоскости (z. Oy), где температура «мгновенно» повышается. определение и (4) используем в (2) 17

В результате придем к системе уравнений в деформациях (5) (6) (7) Характерная скорость распространения реакции 18

Решение типа бегущей волны (т. е. , волны с постоянным профилем, движущейся вправо) удовлетворяет системе уравнений (8) Задача частично интегрируется (аналогично задаче термоупругости) (9) (10) Число решений уравнения для температуры продуктов зависит от параметров Асимптотический анализ задачи дает два типа решений в виде бегущей волны 19

Классическая задача теории горения: (11) Решения второго типа также непрерывны и являются ударноволновыми. Эти решения описывают ударные волны в теплопроводящей среде с экзотермической химической реакцией или твердофазную детонацию (12) (13) Для любого значения решение единственно; волна постоянного профиля распространяется со скоростью, меньшей «скорости звука» 20

«Простейший» пример – разложение азидов тяжелых металлов (Янг Д, Кинетика разложения взрывчатых веществ) 2 стадии: 1) в твердой фазе (газообразный продукт растворен в твердой фазе или адсорбирован на поверхности трещин, появление которых сопровождает реакцию); 2) догорание в газовой фазе Обе стадии могут протекать в двух режимах: медленный режим превращения (горение в твердой фазе и в газе) и взрывчатый ( «детонация» в твердой фазе и в газе) (14) вместо (4) на слайде (17) (15) Если реакция идет с расширением объема, концентрационные напряжения входят в «закон» Дюамела-Неймана– со знаком «-» , а если – с уменьшением объема – со знаком «+» 21

(16) - новый параметр В стационарной волне, движущейся вправо со скоростью V, деформации связаны с температурой и степенью превращения соотношением (17) В этом случае уравнение теплопроводности после частичного интегрирования системы принимает вид (18) 22

Используя обозначения , нетрудно показать, что при решения уравнения (18) сходятся к разрывным решениям ударно-волнового уравнения Л. 9 (19) Связанная модель твердофазного превращения допускает существование автомодельных решений и в том случае, если химическая реакция – эндотермическая (в этом случае перед вторым слагаемым в уравнении (18) стоит знак «минус» и в определении масштабной температуры ). Суммарный экзоэффект в зоне реакции вызван тем, что эндотермическая реакция приводит к увеличению объема, и в детонационной волне происходит выделение энергии вследствие работы напряжений, либо тем, что эндотермическая реакция идет с уменьшением объема, в результате чего в медленной волне твердофазного горения тепловыделение превышает эндоэффект превращения. (20) 23

горение 24

детонация 25

Обобщение модели твердофазного горения на случай конечных деформаций Фактически воспользуемся системой уравнений, представленной на 2 -м слайде: В одномерном приближении Для большинства материалов справедливо приближение 26

Следовательно, в системе координат, связанной с фронтом реакции, движущимся вправо со скоростью vn, имеем стационарную модель - массовая скорость «горения» . Условие позволяет частично проинтегрировать систему Состояние в реагентах известно, в продуктах – все возмущения затухают 27

В результате для описания медленных режимов превращения (горения) приходим к обычной задаче теории горения, в которой теплоемкость зависит от температуры, но функция тепловыделения имеет более сложный вид, чем при использовании зависимости Аррениуса. В отличие от более простых моделей искомой величиной здесь является массовая скорость горения, а не линейная скорость фронта Параметр представляет собой произведение термической деформации и отношения скоростей распространения объемной и продольной 28 механических волн

Для уравнение теплопроводности удобнее представить в иной форме Неавтомодельная форма этого уравнения (1) нелинейное ударно-волновое уравнение Непрерывные решения уравнения (2) при сходятся к разрывным решениям уравнения (1). Как и в случае более простых моделей, при можно получить решения, описывающие стационарную волну 29 твердофазной детонации (2)