Лекция 12 Определенный интеграл Вычисление площадей плоских фигур

Лекция 12. Определенный интеграл Вычисление площадей плоских фигур Вычисление длины дуги плоской кривой Вычисление объема тела вращения Несобственный интеграл I рода. Несобственный интеграл II рода. 1

Вычисление площадей плоских фигур По геометрическому смыслу определенного интеграла, площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси ОХ равна соответствующему определенному интегралу : y S 0 a a x b b (1) y Если криволинейная трапеция расположена ниже оси ОХ, то ее площадь может быть найдена по формуле: 0 x S (2) Формулы (1) и (2) можно объединить в одну для случая, когда функция f(x) сохраняет знак на [a; b] 2

Площадь фигуры, ограниченной кривыми y = f 1(x) и y = f 2(x), прямыми x = a, x = b при условии находится по формуле: y f 2(x) S 0 a x b f 1(x) y Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то прямыми, параллельными оси OY, ее следует разбить на части так, чтобы можно было применить известные формулы. S 3 S 1 S 2 S 4 0 a bx Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически, прямыми x = a, x = b и осью OX: 3

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной осью OX, и графиком функции: y S 2 0 S 1 2 3 x 4

Вычисление длины дуги плоской кривой Если уравнение кривой AB задано в параметрической форме: то длина дуги кривой находится по формуле: Если кривая AB задана в полярных координатах: то длина дуги кривой находится по формуле: 5

Пример. Вычислить длину дуги окружности, заданной уравнением: от точки А(2; 0) до точки Найдем как изменяется параметр t при переходе от точки А к точке В: y В 0 А 2 x 6

Вычисление объема тела вращения Пусть вокруг оси OX вращается криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной линией y = f(x) > 0, отрезком [a; b] и прямыми x = a, x = b. . Полученная при вращении фигура y называется телом вращения. Объем полученного тела вычисляется по формуле: 0 а b x Если криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции x = q(y) > 0, прямыми y = c, y = d и осью OY, то объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг оси OY равен: 7

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: вокруг оси OY. y 4 0 x 8

Несобственный интеграл Определенный интеграл где промежуток интегрирования [a; b] конечный, а подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], называют еще собственным интегралом. Так называемые несобственные интегралы бывают двух видов: Определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл 1 рода) Определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв (несобственный интеграл 2 рода) 9

Несобственный интеграл 1 рода Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого рода и обозначают: В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке 10

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется формулой: В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Если непрерывная функция на промежутке и несобственный интеграл y сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции: 0 x a 11

Примеры. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость. Интеграл расходится, так как такой предел не существует 12

Несобственный интеграл 2 рода Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке и имеет бесконечный разрыв при x=b Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают: В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или он бесконечен, то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке x то: 13 = a,

Если функция f(x) терпит разрыв во внутренней точке c отрезка [a; b] , то несобственный интеграл второго рода определяется формулой: В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. В случае, когда f(x) > 0, и имеет бесконечный разрыв в точке b, то сходящийся несобственный интеграл 2 рода равен площади бесконечно высокой криволинейной трапеции: y 0 a x b 14

Пример. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость. Интеграл расходится 15