Лекция 11 Временные ряды продолжение 1 Оценивание в

Лекция 11 Временные ряды (продолжение) 1. Оценивание в моделях распределенных лагов 2. Стационарность процессов 3. Проверка на существование автокорреляции (тест DW) 4. Оценивание параметров в динамических моделях

Оценивание в моделях распределенных лагов Может производиться МНК (при соблюдении всех предпосылок). Однако, если по смыслу задачи ожидается влияние с большим запаздыванием, то может оказаться, что количество коэффициентов слишком велико. В том случае, если ряд xi имеет некоторую структуру, например, автокорреляцию или сезонность, мы оказываемся в ситуации мультиколлинеарности. Для уменьшения числа оцениваемых параметров используют модели полиномиальных лагов (метод Алмон (Almon)) и геометрических лагов (модель Койка (Koyck)).

Модели полиномиальных лагов Если уравнение регрессии имеет вид то зависимость βi от i аппроксимируется полиномом некоторой степени r Таким образом, получаем модель, содержащую только r + 2 неизвестных параметров и имеет вид: yt = δ+ 0 ot+ 1 1 t+…+ r rt+ t , где переменные 0, . . . , r являются линейными комбинациями переменных xt, . . . , xt-q.

Модель геометрических лагов Модель имеет вид: Параметр λ (0 < λ < 1) связан обратной зависимостью со скоростью реакции; λ = 0 означает мгновенную полную реакцию у на изменение х. Модель содержит только три параметра ( , β, λ), однако ее оценивание затрyднено тем, что она является нелинейной.

Стационарные ряды Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются в частности при описании случайных составляющих анализируемых рядов.

Стационарность процессов Стационарными в широком смысле являются те ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени: • E(yt) = μ; • V(yt)=γ 0; • Cov(yt, yt-k) = γk Автокорреляционная функция ACF:

Проверка на стационарность 1. Посмотреть на график полученных наблюдений 2. Построить график выборочной автокорреляционной функции 3. Использовать формальные тесты для определения наличия автокорреляции (тест Дарбина-Уотсона или Дики–Фуллера или др. ) В том случае, если ряд оказывается не стационарным по тренду, то переходим к уравнениям в первых разностях, т. е вводим замену переменных dyt=yt-yt-1 и повторяем процедуру проверки на стационарность с пункта 1

Тест Дарбина-Уотсона (DW) Нулевая гипотеза – отсутствие автокорреляции. Тест DW основан на статистике При большом числе наблюдений можно считать При отсутствии автокорреляции можно считать, что DW близка к 2. Близость к 0 означает положительную автокорреляцию, а к 4 – отрицательную. Для DW-статистики найдены верхняя и нижняя границы (dн и dв).

Иллюстрация критерия Дарбина - Уотсона Положительная автокорреляци я 0 dн Зона Н 0 принимается Отрицательная Зона Неопреде- (отсутствие ленности автокорреляция Неопределенности Автокорреляции) dв 2 dв dн 4

Примеры временных рядов • Белый шум yt = t , t ~ iid(0, σ2), t=1, …, n • АR(1) процесс yt = m+ψ·yt-1+ t, t ~ iid(0, σ2), t=1, …, n. предполагается, что |ψ| < 1 • Случайное блуждание yt = yt-1 + t t ~ iid(0, σ2), t=1, …, n

Оценивание параметров в динамических моделях Уравнение с авторегрессионными членами может быть оценено при помощи МНК. Существенными тут являются два условия: • Устойчивость. Это означает | | < 1. • Отсутствует автокорреляция ошибок

Дарбин показал, что приемлема следующая процедура проверки на автокорреляцию ошибок: 1) Вычислим остатки МНК-регрессии уравнения et. 2) Оценим вспомогательную регрессию et на et-1, yt-1, xt. 3) Проверим гипотезу Н 0 с помощью обычного tтеста на значимость коэффициента при et-1 во вспомогательной регрессии. Если коэффициент значим, то, значит, существует автокорреляция ошибок.

Какой МНК используется для получения оценок параметров моделей временных рядов? • • а) обычный МНК б) взвешенный МНК в) обобщенный (ОМНК) г) зависит от структуры ряда и выполнения основных предпосылок для модели