Лекція 11 Тема Неперервність функції в точці та

Лекція 11 Тема. Неперервність функції в точці та на проміжку. Точки розриву та їх класифікація. 1. Неперервність функції в точці. Означення 1 (означення Коші). Функція називається неперервною в точці якщо , тобто якщо виконуються дві умови: 1. визначена в точці (існує ); 2. границя зліва дорівнює границі справа в цій точці і дорівнює значенню функції в ній: .

Наслідок. Під знаком неперервної функції можна переходити до границі тобто для неперервної функції можлива перестановка символів границі і функції. Приклад 1. Дослідити неперервність в точці х = 0 функцій: Функція не визначена в точці ція не є неперервною в т = 0. у 0 х , отже, функ-

; тобто односторонні границі функції в точці =0 існують, але вони різні, отже функція не є неперервною в точці = 0. у 0 -1 х

Сформулюємо ще одне означення неперервності функції. Дамо аргументу приріст , тоді приріст функції в точці y y 0 x

Означення 2. Функція називається неперервною в точці , якщо вона визначена в цій точці, і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто Приклад 2. Дослідити неперервність функції Розв’язання. Надамо аргументу приросту. Знайдемо приріст функції . Обчислимо бо функція , є обмеженою, тобто Отже, за означенням функція . є

обмеженою, тобто. Отже, за означенням функція є неперервною для , тобто на всій осі. Означення 3. Функція називається непе- рервною справа (зліва) в точці , якщо .

2. Властивості функцій неперервних в точці. 1. Якщо функції неперервні в точці , то їх сума , добуток і частка ( ) також є неперервними в точці функціями. 2. Якщо функція є неперервною в точці і , то існує окіл точки , в якому 3. Якщо функція є неперервною в точці , а функція є неперервною в точці , то їх композиція (складена функція) є неперервною в точці.

Приклад 3. Довести, що функція рервною в будь якій точці. Доведення. Оскільки функції неперервними в довільній точці функція є непеі є , то складена як композиція двох неперервних функцій є також неперервною в будь-якій точці.

Означення 4. Функція називається неперервною на проміжку , якщо вона є неперервною в кожній точці цього проміжку. Означення 5. Функція називається неперервною на відрізку , якщо вона є неперервною на проміжку і неперервна в точці справа і в точці зліва.

3. Властивості функцій неперервних на відрізку. 1. Якщо функція неперервна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку, тобто існують такі числа , що для всіх виконується нерівність 2. Якщо функція неперервна на відрізку то вона досягає на цьому відрізку свого найменшого m і найбільшого М значення.

3. Якщо функція неперервна на відрізку і значення її на кінцях відрізках мають протилежні знаки , то всередині відрізка існує хоча б одна така точка , що , тобто крива перетне вісь Ох хоча б одній точці.

4. Точки розриву функції та їх класифікація. Означення 6. Точка називається точкою розриву функції , якщо в даній точці функція не є неперервною. Розрізняють точки розриву першого та другого роду і точки усувного розриву. Означення 7. Точка називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують обидві односторонні границі, але вони різні, тобто

Означення 8. Точка називається точкою розриву другого роду функції , якщо в цій точці не існує або дорівнює нескінченності хоча б одна з односторонніх границь. Приклад. Функція , яка зображена на (рис. ), має в точці х = 2 розрив другого роду, оскільки лівостороння границя функції існує , а правостороння границя нескінченна .

у 1 0 2 х

Означення 9. Точка називається точкою усувного розриву функції , якщо в цій точці існують обидві односторонні границі, вони рівні між собою, але не дорівнюють значенню функції в точці х0, або функція в цій точці не існує, тобто. Точка усувного розриву – це частинний випадок точок розриву першого роду, коли стрибок функції в цій точці дорівнює нулю, тобто. В цьому випадку досить довизначити функцію лише в одній точці , поклавши , щоб дістати функцію, неперервну в точці.

Приклад. Дослідити точки розриву функції: Розв’язання. Функція невизначена в точках, в яких знаменник дорівнює нулю, тобто в точках та , отже, точки і є точками розриву функції. Знайдемо односторонні границі в цих точках

Оскільки обидві односторонні границі нескінченні, то, х = 2 – точка розриву другого роду. Аналогічно в точці х = 4 отже, точка = 4 є точкою розриву другого роду.