Скачать презентацию Лекция 11 РЯДЫ 1 Ряд Сумма ряда 2 Скачать презентацию Лекция 11 РЯДЫ 1 Ряд Сумма ряда 2

Лекция 3.12 Числ.Ряды.ppt

  • Количество слайдов: 22

Лекция 11 РЯДЫ 1. Ряд. Сумма ряда. 2. Операции с числовыми рядами. 3. Необходимый Лекция 11 РЯДЫ 1. Ряд. Сумма ряда. 2. Операции с числовыми рядами. 3. Необходимый признак сходимости ряда 4. Критерий Коши сходимости ряда 5. Сравнение рядов с неотрицательными членами 1

1. Ряд. Сумма ряда. Определение 1. Выражение вида называется рядом; - члены ряда. Если 1. Ряд. Сумма ряда. Определение 1. Выражение вида называется рядом; - члены ряда. Если - числа, ряд – числовой; Если - функции, ряд – функциональный. 2

Примеры. Определение 2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется - частичной суммой ряда Примеры. Определение 2. Сумма конечного числа первых членов ряда называется - частичной суммой ряда 3

- последовательность частичных сумм. Определение 3. Если существует конечный предел ряд называется сходящимся, число - последовательность частичных сумм. Определение 3. Если существует конечный предел ряд называется сходящимся, число называется суммой ряда. В противном случае ряд называется расходящимся. 4

Примеры. - Сходящийся - ? Решение. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, Сходящийся ряд. 5 Примеры. - Сходящийся - ? Решение. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, Сходящийся ряд. 5

Вывод. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия представляет сходящийся ряд. - Сходящийся - ? Решение. Расходящийся Вывод. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия представляет сходящийся ряд. - Сходящийся - ? Решение. Расходящийся ряд. 6

2. Операции с числовыми рядами. Т 1 ( три теоремы) На сходимость ряда не 2. Операции с числовыми рядами. Т 1 ( три теоремы) На сходимость ряда не влияет добавление (отбрасывание) конечного числа слагаемых Сходимость ряда нельзя исправить! Доказательство. Рассмотрим ряд Част. сумма исходного ряда Част. сумма исправл. ряда 7

Устремим ч. т. д. Т 2 Если ряд то ряд 8 Устремим ч. т. д. Т 2 Если ряд то ряд 8

Доказательство. Пусть Вычислим ч. т. д. Т 3 Если то 9 Доказательство. Пусть Вычислим ч. т. д. Т 3 Если то 9

Сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать, умножать на константу. При этом суммы новых рядов Сходящиеся ряды можно почленно складывать, вычитать, умножать на константу. При этом суммы новых рядов получаются из сумм старых рядов этими же действиями. 3*. Необходимый признак сходимости ряда Т Если ряд сходится, то 10

Доказательство. Пусть Рассмотрим ч. т. д. Это условие не является достаточным. 11 Доказательство. Пусть Рассмотрим ч. т. д. Это условие не является достаточным. 11

Следствие. Если то ряд расходится Необходимый признак сходимости (следствие) используется для установления факта расходимости Следствие. Если то ряд расходится Необходимый признак сходимости (следствие) используется для установления факта расходимости ряда и только!!! 12

Пример. -развернутая форма. -сжатая форма. Сходимость -? Решение. Ряд является расходящимся, т. к. нарушен Пример. -развернутая форма. -сжатая форма. Сходимость -? Решение. Ряд является расходящимся, т. к. нарушен необходимый признак сходимости. 13

4 Критерий Коши сходимости ряда Т Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, 4 Критерий Коши сходимости ряда Т Для того, чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы 14

Пример. - гармонический ряд Сходимость -? Решение. Сходимость возможна. Предположим, что ряд сходится. Тогда, Пример. - гармонический ряд Сходимость -? Решение. Сходимость возможна. Предположим, что ряд сходится. Тогда, по критерию Коши для (пусть ) справедливо 15

С другой стороны Противоречие! Гармонический ряд расходится !!! 16 С другой стороны Противоречие! Гармонический ряд расходится !!! 16

Сравнение рядов с положительными 5 членами Пусть имеем два ряда с неотрицательными членами: Т Сравнение рядов с положительными 5 членами Пусть имеем два ряда с неотрицательными членами: Т 1 Если начиная с некоторого 2) ряд (2) сходится, то ряд (1) также сходится. 17

Доказательство. По условию Причем (по условию ) Отсюда Последовательность монотонная и ограниченная 18 Доказательство. По условию Причем (по условию ) Отсюда Последовательность монотонная и ограниченная 18

ч. т. д. Пример. Исследовать на сходимость ряд Решение. Рассмотрим два ряда (начиная с ч. т. д. Пример. Исследовать на сходимость ряд Решение. Рассмотрим два ряда (начиная с n=2 ) 19

Ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем По первой теореме сравнения сходится Ряд сходится как бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем По первой теореме сравнения сходится и ряд Т 2 Если 2) ряд (1) расходится, то ряд (2) также расходится. 20

сходимость расходимость Пример. Исследовать на сходимость ряд 21 сходимость расходимость Пример. Исследовать на сходимость ряд 21

Решение. Расходится Гармонический, расходящийся 22 Решение. Расходится Гармонический, расходящийся 22