Лекция 11 Двухфакторный дисперсионный анализ 11 -1 Описание

Лекция 11. Двухфакторный дисперсионный анализ 11 -1. Описание метода и пример 11 -2. Анализ взаимодействия 11 -3. Решение в SPSS

Пример Компания хочет проверить эффективность своей рекламы. Выбран продукт, и созданы два типа рекламных роликов: серьезный и смешной. Реклама размещена в рабочие и выходные дни. Выбраны 16 потенциальных клиентов и наугад распределены на 4 группы. После того, как каждый покупатель просмотрел ролик, его просят оценить эффективность рекламы по двадцатибалльной шкале. Различные баллы даются за привлекательность, ясность, краткость ролика и т. д. Иванов О. В. , 2005 2

Пример При α = 0, 01 проанализируйте данные, используя двусторонний дисперсионный анализ. Тип ролика Смешной Серьезный Иванов О. В. , 2005 День Рабочий Выходной 6, 10, 11, 9 15, 18, 14, 16 8, 13, 12, 10 19, 20, 13, 17 3

Дисперсионный анализ (Analysis of Variance) F-критерий, который мы использовали при сравнении дисперсий, может применяться для сравнения трех и более средних. Этот метод называется дисперсионным анализом или в англоязычной аббревиатуре ANOVA (Analysis of Variance). F-критерий можно использовать при сравнении двух средних. Но в этом случае он становится идентичным t-критерию. Иванов О. В. , 2005 4

Однофакторный и двухфакторный анализ Дисперсионный анализ, который рассматривает только одну переменную называется однофакторным дисперсионным анализом (One-Way ANOVA). Дисперсионный анализ может также применяться в случае двух переменных - это двухфакторный дисперсионный анализ (Two-Way ANOVA). Фактор Зависимая переменная Иванов О. В. , 2005 Фактор А Фактор B Зависимая переменная 5

11 -1. Двухфакторный дисперсионный анализ Описание метода и пример

Постановка проблемы При применении двухфакторного дисперсионного анализа исследователь проверяет влияние двух независимых переменных (факторов) на зависимую переменную. Может быть изучен также эффект взаимодействия двух переменных. Фактор А Фактор B Зависимая переменная Иванов О. В. , 2005 7

Эффект обработки и эффект взаимодействия Исследуемые группы называют эффектами (treatment groups): Группа 1: Смешной ролик, рабочий день Группа 2: Смешной ролик, выходной день Группа 3: Серьезный ролик, рабочий день Группа 4: Серьезный ролик, выходной день обработки Зрители распределяются по группам случайным образом. Эта схема 2× 2, так каждая переменная состоит из двух уровней, или двух разных вариантов обработки. Иванов О. В. , 2005 8

Эффект обработки и эффект взаимодействия Двухфакторный дисперсионный анализ позволяет исследователю проверить эффекты влияния типа ролика и типа дня одновременно, а не по отдельности. Кроме этого, исследователь может проверить также дополнительную гипотезу об эффекте взаимодействия между двумя переменными. Наличие значимого эффекта будет означать, что тип ролика по-разному влияет на эффективность рекламы, в зависимости от типа дня. Иванов О. В. , 2005 9

Другие схемы Двухфакторный дисперсионный анализ типа 3 х 2 и 3 х 3. В 1 В 2 В 1 А 2 А 3 В 3 А 1 А 2 В 2 А 3 Иванов О. В. , 2005 10

Гипотезы Схема двухфакторного дисперсионного анализа имеет несколько нулевых гипотез: одна для каждой независимой переменной и одна для взаимодействия. Н 0: Тип ролика и день не имеют эффекта взаимодействия на эффективность рекламы. Н 1: Тип ролика и день имеют эффект взаимодействия на эффективность рекламы. Н 0: Эффективность рекламы не зависит от типа ролика. Н 1: Эффективность рекламы зависит от типа ролика. Н 0: Эффективность рекламы не зависит от типа дня. Н 1: Эффективность рекламы зависит от типа дня. Иванов О. В. , 2005 11

Таблица результатов Результаты вычислений представляют в виде следующей таблицы: Сумма квадратов df Среднее квадратичное F Фактор A SSA a– 1 MSA FA Фактор B SSB b– 1 MSB FB Взаимодействие, Ax. B SSAx. B (a – 1)(b – 1) MSAx. B FAx. B Ошибка SSerror ab(n – 1) MSerror ИТОГО … … . . . Иванов О. В. , 2005 12

Обозначения SSA – сумма квадратов для фактора А SSB – сумма квадратов для фактора В SSAx. B – сумма квадратов для взаимодействия факторов SSerror – сумма квадратов для ошибки а – количество уровней фактора А b – количество уровней фактора В n – количество объектов в каждой группе Иванов О. В. , 2005 13

Изменчивость в двухфакторном анализе Общая изменчивость Между группами Между столбцами Иванов О. В. , 2005 Между строками Внутри групп Взаимодействие 14

Формулы для вычислений df. N. = b – 1 df. D. = ab(n – 1) df. N. = (a – 1)(b – 1) df. D. = ab(n – 1) df. N. = a – 1 df. D. = ab(n – 1) Иванов О. В. , 2005 15

Условия применения 1. Генеральные совокупности, из которых извлечены выборки, должны быть нормально распределены. 2. Выборки должны быть независимыми. 3. Дисперсии генеральных совокупностей, из которых извлекались выборки, должны быть равными. 4. Группы должны иметь одинаковый объем выборки. Иванов О. В. , 2005 16

Пример Исследователь хочет выяснить, оказывают ли тип потребляемого бензина и тип автомобиля влияние на расход топлива. Для этого будут использованы два типа бензина – обычный и высокооктановый, и для каждой группы будут использованы два типа автомобилей – с двумя ведущими колесами и с четырьмя. Для каждой группы будут использованы по два автомобиля, всего восемь. Тип автомобиля Топливо два колеса четыре колеса Обычное 26, 7 25, 2 28, 6 29, 3 Высокооктановое 32, 3 32, 8 26, 1 24, 2 Иванов О. В. , 2005 Расход топлива в милях на галлон 17

Последовательность действий ШАГ 1. Сформулировать гипотезы. ШАГ 2. Найти критическое значение для каждого значения Fкритерия при заданном α, например, α = 0, 05. ШАГ 3. Заполнить итоговую таблицу, чтобы получить значение критерия. ШАГ 4. Принять решение. ШАГ 5. Подвести итоги. Иванов О. В. , 2005 18

Шаг 1. Сформулировать гипотезы Гипотезы для взаимодействия: Н 0: Тип топлива и тип автомобиля не оказывают эффекта взаимодействия на потребление бензина. Н 1: Тип топлива и тип автомобиля оказывают эффекта взаимодействия на потребление бензина. Гипотезы для типов топлива: Н 0: Для двух типов топлива нет разницы между средним потреблением бензина. Н 1: Для двух типов топлива существует разница между средним потреблением бензина. Гипотезы для типов автомобилей: Н 0: Для автомобилей с двумя и четырьмя ведущими колесами нет разницы в среднем потреблении бензина. Н 1: Для автомобилей с двумя и четырьмя ведущими колесами существует разница в среднем потреблении бензина. Иванов О. В. , 2005 19

Шаг 2. Критические значения для F-критерия Каждая независимая переменная, или фактор, имеет два уровня (принимает два значения). Фактор А - тип топлива: обычное и высокооктановое, а = 2. Фактор В - тип автомобиля: также имеет два значения, b = 2. Степени свободы для каждого фактора: Фактор А: df. N = a – 1 = 2 – 1 = 1 Фактор В: df. N = b – 1 = 2 – 1 = 1 Взаимодействие (A×B): df. N = (a – 1)(b – 1) = (2 – 1) = 1 Ошибка внутри группы: df. D = ab(n – 1) = 2× 2(2 – 1) = 4 n – число объектов в каждой группе. В данном случае n = 2. Иванов О. В. , 2005 20

Шаг 2. Критические значения для F-критерия Критические значения: FA α = 0, 05 df. N = 1 df. D = 4 FA = 7, 71 FВ α = 0, 05 df. N = 1 df. D = 4 FВ = 7, 71 FАх. В α = 0, 05 df. N = 1 df. D = 4 FАх. В =7, 71 Иванов О. В. , 2005 21

Замечание Если факторы принимают различное число значений, критические значения не всегда будут одинаковыми. Например, если фактор А имеет три значения, а фактор В – четыре, и при этом в каждой группе по два объекта, то степени свободы будут следующие: df. N. = a – 1 = 3 – 1 = 2 df. N. = b – 1 = 4 – 1 = 3 df. N. = (a – 1)(b – 1) = (3 – 1)(4 – 1) = 6 df. D. = ab(n – 1) = 3× 4(2 – 1) = 12 Иванов О. В. , 2005 для фактора А для фактора В для фактора A×B ошибка внутри группы 22

Шаг 3. Заполняем таблицу Таблица результатов вычислений SS Топливо, А Автомобиль, В Взаимодействие, (А×В) Ошибка внутри группы Итого Иванов О. В. , 2005 df MS F 3, 920 9, 680 54, 080 3, 300 70, 980 23

Шаг 3. Заполняем таблицу Иванов О. В. , 2005 24

Шаг 3. Заполняем таблицу Иванов О. В. , 2005 25

Шаг 3. Заполняем таблицу Топливо, А Автомобиль, В Взаимодействие, (А×В) Ошибка внутри группы Итого Иванов О. В. , 2005 SS 3, 920 9, 680 54, 080 3, 300 70, 980 df 1 1 1 4 7 MS 3, 920 9, 680 54, 080 0, 825 F 4, 752 11, 733 65, 552 26

Шаг 3. Можем использовать SPSS Иванов О. В. , 2005 27

Шаг 4 -5. Принять решение и подвести итог Поскольку FB = 11, 733 и FА×В = 65, 522, что превышает критический уровень 7, 71, нулевые гипотезы об эффекте взаимодействия и о типе автомобиля отвергаются. Итог. Поскольку нулевая гипотеза об эффекте взаимодействия была отвергнута, можно сделать вывод о том, что сочетание типа топлива и типа автомобиля оказывает существенное влияние на потребление топлива. Иванов О. В. , 2005 28

Итоги Подводя итоги, можно сказать, что двумерный дисперсионный анализ является продолжением одномерного. Двумерный анализ может использоваться для проверки воздействия двух независимых переменных и возможного эффекта взаимодействия на зависимую переменную. Иванов О. В. , 2005 29

11 -2. Анализ взаимодействия Метод Пример

Интерпретация результатов анализа В предыдущем примере влияние типа бензина и типа автомобиля называются основными или главными эффектами. Если нет значимого эффекта взаимодействия, основные эффекты можно интерпретировать независимо друг от друга. Однако, если существует значимый эффект взаимодействия, надо более внимательно интерпретировать основные эффекты. Чтобы интерпретировать результаты двумерного дисперсионного анализа, исследователи предлагают нарисовать график, на который наносятся средние значения каждой группы. Затем проанализировать график и интерпретировать результаты. Иванов О. В. , 2005 31

Вычислим средние по группам Тип автомобиля Топливо два колеса четыре колеса Обычное Высокооктанов ое Иванов О. В. , 2005 32

Беспорядочное взаимодействие На этом графике прямые пересекаются. В случае такого пересечения и при значительном эффекте взаимодействия, это взаимодействие называется беспорядочным. В случае беспорядочного взаимодействия не следует интерпретировать основные эффекты без учета эффекта взаимодействия. Иванов О. В. , 2005 33

Порядковое взаимодействие Другой возможный тип взаимодействия – порядковое взаимодействие. Если значение F-критерия для взаимодействия оказывается значимым и прямые не пересекаются, тогда взаимодействие называется порядковым, и основные эффекты можно интерпретировать отдельно друг от друга. Иванов О. В. , 2005 34

Отсутствие взаимодействия Наконец, когда нет значительного эффекта взаимодействия, прямые на графике будут параллельными или почти параллельными. В подобной ситуации основные эффекты можно интерпретировать независимо друг от друга, поскольку не существует значимого взаимодействия. На рисунке приведен график двух переменных, когда эффект взаимодействия незначителен, прямые параллельны. Иванов О. В. , 2005 35

Пример Какой вывод можно сделать из этого графика? Иванов О. В. , 2005 36

Отсутствие взаимодействия Поскольку прямые почти параллельны, не существует значимого взаимодействия между факторами. Основные эффекты можно интерпретировать независимо друг от друга. Иванов О. В. , 2005 37

Порядковое взаимодействие Иванов О. В. , 2005 38

Беспорядочное взаимодействие Иванов О. В. , 2005 39

11 -2. Решение задачи в SPSS Ввод данных Анализ Отчет

Ввод данных Иванов О. В. , 2005 41

Выбираем переменные Grade является зависимой Trailer и Day независимые Иванов О. В. , 2005 42

Отчет Иванов О. В. , 2005 43