Лекция 11 23 11 2011 Поглощение и отражение

Лекция 11 (23. 11. 2011) Поглощение и отражение света колебаниями решетки 1. Электростатическое поле и потенциал: - равномерно заряженного шара; - одиночного диполя; - равномерно поляризованного шара; 2. Локальное поле, действующее на отдельный диполь в диэлектрике Литература: 1. И. Е. Тамм, "Основы теории электричества"

Локальное поле, действующее на диполь Пусть поляризуемость одной примитивной ячейки равна β и дипольный момент зависит от внешнего электрического поля E как (1) Пусть в единице объема диэлектрического кристалла содержится N примитивных элементарных ячеек. Вопрос: чему равна поляризуемость единицы объема кристалла α, определяющая его поляризацию P? (2) Ответ - неверен! Потому что величина электрического поля Е, входящего в выражения (1) и (2) - разная: В выражении (2): Е - среднее макроскопическое поле в кристалле В выражении (1): Е - микроскопическое (внешнее) поле в центре диполя

Разберем полезную электростатическую задачу: Задача об электрическом поле равномерно-поляризованного диэлектрического шара Лемма 1 (поле равномерно заряженного диэлектрического шара) Рассмотрим сферу радиуса а, равномерно заряженную с плотностью заряда ρ и полным зарядом . Тогда поле вне шара на расстоянии от центра сферы совпадает с полем точечного заряда величины e, расположенного в центре сферы: а поле внутри шара прямо пропорционально R:

Доказательство Леммы 1 Вследствие симметрии вектор параллелен (антипараллелен) является функцией лишь от. Применяем теорему Гаусса - поток вектора поверхность (сферу) равен умноженной на расположенного внутри этой поверхности: откуда следуют доказываемые выражения. через замкнутую величине заряда, и

Следствие: вычисление потенциала электростатического поля заряженной сферы Разность потенциалов между точками P 0: Примем потенциал на бесконечности Потенциал вне сферы: Потенциал на поверхности сферы: Потенциал внутри сферы: . Тогда

Лемма 2 (потенциал поля диполя) Два равных точечных заряда противоположных знаков +e и -e находятся на расстоянии l друг от друга, причем вектор l направлен от отрицательного заряда к положительному. - электрический момент диполя Потенциал диполя в точке P: Пусть расстояние l мало по сравнению с расстоянием между этими зарядами и исследуемой точкой поля P. Тогда

Следствие: вычисление электростатического поля диполя (Тамм, стр. 580)

Определим поле равномерно поляризованного шара Пусть на единицу объема диэлектрика приходится по N зарядов каждого знака с абсолютной величиной e Поляризация постоянна по величине и направлению во всех точках шара радиуса а положительные и отрицательные заряды одинаково распределены по объему и их поля взаимно компенсируются положительные заряды сдвинуты на некоторый отрезок l, а отрицательные на отрезок -l. Поле поляризованного шара тождественно с полем двух сдвинутых друг относительно друга на отрезок 2 l шаров радиуса а, равномерно заряженных разноименным электричеством Заряд каждого шара по абсолютной величине равен где

Согласно Лемме 1, внешнее поляризованного шара таково, как если бы два точечных заряда ±e' находились на расстоянии 2 l друг от друга, т. е. тождественно с полем диполя момента Согласно Лемме 2, потенциал такого диполя равен - радиус вектор из центра шара в исследуемую точку Поляризация диэлектрика: - до поляризации - после поляризации

Аналогично, внутри сферы (см. Тамм, стр. 115): Электрическое поле внутри поляризованной сферы: Напряженность поля внутри равномерно поляризованного шара постоянна по величине и направлению

Определим связь между средней макроскопической напряженностью поля в диэлектрике Е и средней напряженностью поля (внешнего по отношению к каждому диполю) в точках расположения центров диполей Е'. Возьмем диполь О. Опишем из центра диполя физически бесконечно малую сферу. Тогда где - поле всех зарядов, расположенных вне сферы S, т. е. поле в сферической полости, вырезанной внутри равномерно поляризованного диэлектрика. - поле всех зарядов, лежащих внутри S, за исключением зарядов самого диполя O макроскопическое поле поляризованной сферы

Величина определяется микроскопической структурой диэлектрика Эффективное поле, действующее на диполь в кубическом кристалле Введем декартову систему координат с центром в O. Тогда, слагающая Ex поля, возбуждаемого в точке O отдельным диполем с координатами (x, y, z): Слагающая по оси x поля E 2, будет равна где суммирование производится по всем диполям внутри физически малой сферы S за исключением диполя, находящегося в ее центре

Допустим, что диполи диэлектрика расположены в узлах кристалла с кубической пространственной решеткой, главные оси которой совпадают с осями координат x, y, z. Тогда: - все суммируемые диполи одинаковы по величине и направлению, т. е. px, py, pz можно вынести за знак суммы; - для каждого диполя с координатами x=a, y=b, z=c в пределах сферы S найдется диполь с координатами x=b, y=a, z=c, т. е. выражения вида - для каждого диполя с координатами x=a, y=b, z=c в пределах сферы S найдется диполь с координатами x= - a, y=b, z=c, т. е. выражения вида Этот же результат получается и для совершенно беспорядочного расположения диполей (газообразный диэлектрик)

Эффективное поле, действующее на каждый диполь, отличается от среднего "макроскопического" поля на величину Обозначим: ( - поляризуемость одного диполя, N - число диполей в единице объема) формула Клаузиуса-Мосотти (в оптике формула Лоренц-Лорентца)

Контрольные вопросы 1. Электростатическое поле вне равномерно заряженной сферы? 2. Потенциал электростатического поля вне равномерно заряженной сферы? 3. Электростатическое поле внутри равномерно заряженной сферы? 4. Потенциал электростатического поля одиночного диполя с электрическим моментом p? 5. От какой степени R (расстояние) зависит электростатическое поле одиночного диполя? 6. Потенциал электростатического поля вне равномерно поляризованного диэлектрического шара с поляризацией P? 7. Потенциал электростатического поля внутри равномерно поляризованного диэлектрического шара с поляризацией P? 8. Электростатическое поле внутри равномерно поляризованного диэлектрического шара с поляризацией P? 9. Какого эффективное электрическое поле, действующее на отдельный диполь в изотропном или "кубическом" диэлектрике?

Задачи 1. Определить электростатическое поле, создаваемое в пустоте идеальным пироэлектрическим шаром. Считаем известными пироэлектрический вектор, диэлектрический тензор и объем шара. При решении использовать выведенные на лекции выражения для поляризованного шара, а не граничные условия, как делается у Л&Л.