Лекция 10 Теорема о движении центра масс Сложим

Лекция 10 Теорема о движении центра масс Сложим почленно левые и правые части дифференциальных уравнений движения системы, получим: , т. к. Для центра масс: Значит: Т. е.

Итак: Произведение массы системы на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Таким образом центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Проектируя на оси Oxyz, получим: , , дифференциальные уравнения движения центра масс

Закон сохранения движения центра масс Из рассмотренной теоремы можно получить следующие важные следствия: 1. Если , то 2. Если , но или , то . Эти два следствия выражают собой закон сохранения движения центра масс. .

Пример: найти перемещение лодки длиной , если человек в ней переместился с кормы на нос. , сл. или y Если в начале , то ; О x C Т. к. О C , x Отсюда: , то

Теорема об изменении количества движения Введем новые понятия. Количеством движения точки называется векторная величина, равная произведению массы точки на вектор ее скорости Количеством движения системы называется векторная величина, равная геометрической сумме количеств движения всех точек системы Т. к. , то или ,

Итак: - количество движения системы равно произведению массы всей системы на скорость ее центра масс. - элементарный импульс силы - импульс силы за промежуток времени ; ; Теперь выведем зависимости теоремы об изменении количества движения.

Ранее получили: , а т. к. , то Производная по времени от количества движения системы равна геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил. Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов, действующих на систему внешних сил за тот же промежуток времени.

Т. к. , то или Отсюда получаются формулы: теоремы о движении центра масс теоремы об изменении количества движения - Таким образом эти две теоремы представляют собой две разные формы одной и той же теоремы.

Закон сохранения количества движения Аналогично из вышерассмотренной теоремы можно получить следующие следствия: 1. Если , то 2. Если , но . , то .

Пример: найти с какой скоростью будет двигаться лодка, если человек по ней будет перемещаться с относительной скоростью. y О x ;

Теорема об изменении кинетического момента z O x Момент количества движения Рассмотрим движение т. М. Моментом количества движения точки относительно центра О называется векторная величина, определяемая равенством: y - момент количества движения точки относительно оси z

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно центра О называется векторная величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра О , , Подобно тому, как количество движения системы является характеристикой ее поступательного движения , кинетический момент является характеристикой ее вращательного движения.

Чтобы это подтвердить найдем кинетический момент т. т. , вращающегося вокруг неподвижной оси.

Теорема об изменении момента количества движения точки Продифференцируем Т. к. по t : ; ;

Итак: Производная по времени от момента количества движения точки относительно центра О равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра О. Проектируя на оси координат, получим: ; ; .

Теорема об изменении кинетического момента Рассмотрим систему, состоящую из n материальных точек. Выделим k-ю точку и запишем для нее формулу вышерассмотренной теоремы: , где , - равнодействующие всех внешних и внутренних сил, действующих на эту точку. Составляя аналогичные уравнения для остальных точек системы и складывая их почленно, получим:

Производная по времени от кинетического момента системы относительно некоторого центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему, относительно того же центра О. ; ; .

Закон сохранения кинетического момента Как и в других общих теоремах динамики из рассмотренной теоремы получаются следствия: 1. Если , то 2. Если то , но. . ,

Пример: Дано: y , , , Найти: . О x