Лекція 10 Тема Основні теореми про границю Перша

Лекція 10 Тема. Основні теореми про границю. Перша і друга важливі границі. Техніка знаходження границь. 1. Основні теореми про границю. Властивості функції, які мають границі в точці. Теорема 1. (про єдиність границі функції в точці). Функція не може мати двох різних границь в одній точці.

Теорема 2. (про граничний перехід у нерівності). Якщо в деякому околі точки х0, крім, можливо, самої точки x 0, виконується нерівність і кожна з функцій та має границю в точці х0, то. Наслідок. Якщо в деякому околі точки х0, крім, можливо, самої точки х0 виконується нерівність , то в припущенні, що функції цю в точці х0. та , мають грани-

Теорема 3. (про границю проміжної функції). Нехай в деякому околі точки х0, крім, можливо, самої точки х0, виконується нерівність. Якщо функції та мають границю в точці х0, причому , то функція також має границю в цій точці і. Теорема 4. Якщо функція має в точці х0 границю, тобто , то – обмежена при.

Властивості границь функцій. Теорема 5. Якщо , де с – довільне дійсне число, тобто границя сталої в довільній точці х0 дорівнює самій цій сталій. Теорема 6. Якщо кожна з функцій та має границю в точці х0, то в цій точці існують також границі функцій , , ( ) і мають місце формули

Наслідки 1. Якщо існує, то для довільного числа с виконується рівність , тобто сталий множник можна винести за знак границі. 2. Якщо існує, то для довільного натурального m. Приклад 1. Знайти границі: a) , б) Розв’язання. а) б) . .

2. Розкриття деяких невизначеностей. У найпростіших випадках знаходження границі зводиться до підстановки у функцію граничного значення аргументу х0. Але часто така підстановка приводить до невизначених випадків. Невизначеність виду а) б) .

Границя зменшуваного і від’ємника в точці не існує, тому спочатку виконаємо віднімання дробів, звівши їх до спільного знаменника. Маємо. Зауваження. Для функцій, які мають границю на нескінченності, залишаються справедливі всі сформульовані теореми.

Невизначеність виду , задана відношенням двох многочленів. а) , поділимо чисельник і знаменник дробу на , одержимо Отже, щоб розкрити невизначеність виду , задану відношенням двох многочленів, потрібно чисельник і знаменник поділити на найвищий степінь х цих многочленів.

Невизначеність виду многочленів. , задана відношенням двох Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо дрібна спільний множник (х-1): Скорочення на (х – 1) можливе тому, що при означенні границі , . Тобто при. , Множник називають критичним множником. Отже, щоб розкрити невизначеність , задану відношенням двох многочленів, потрібно чисел. і знамен. скоротити на критич. множник.

Невизначеність виду виразами: , задана ірраціональними Позбудемось від ірраціональності в чисельнику, домножимо чисельник і знаменник на спряжений вираз, одержимо

Невизначеність виразами. , задана ірраціональними

3. Перша важлива границя. Приклад 2. Обчислити, використовуючи першу важливу границю: а) б) в) Розв’язання. а) б) в)

4. Друга важлива границя. або (без доведення). Наслідки. 1. 2. 3. 4. Число в математиці. одна з фундаментальних величин

Показникова функція типу називається експонентою, логарифм з основою е називається натуральним і позначається , у теорії ймовірностей та статистиці є основною функ-цією. Друга важлива границя часто використовується для обчислення інших границь. Приклад 3. Обчислити, використовуючи другу важливу границю: Розв’язання.