ЛЕКЦИЯ 10 СООТВЕТСТВИЯ МНОЖЕСТВ Определение и способы

ЛЕКЦИЯ 10 СООТВЕТСТВИЯ МНОЖЕСТВ

Определение и способы задания • СООТВЕТСТВИЕМ или ОТНОШЕНИЕМ • между множествами X и Y называется и через Г = (X, Y, F) обозначается тройка множеств, в которой: • X, Y – произвольные множества из (Е), F – подмножество прямого произведения множеств X и Y, F X Y.

• В соответствии Г множество X называется областью отправления, множество Y – областью прибытия, а F – графиком соответствия. Кроме того – множество pr 1 F называется областью определения, а pr 2 F – областью значений соответствия. • Таким образом • pr 1 F X, pr 2 F Y. • Если хотя бы одно из множеств X или Y равно пустому множеству, то такое соответствие называют пустым и обозначают .

• Два соответствия Г=(X, Y, F) и =(Z, W, P) называются равными, если X=Z, Y=W и F=P. • Способы задания соответствий: • 1. теоретико-множественный; • 2. матричный; • 3. графический. • 1 -й – определяются множества • X = {xi}, i I={1, 2, …, n}, • Y = {yj}, j J={1, 2, …, m} • и график F={<xi, yj>}, xi X, yj Y.

• 2 -й – Г задается с помощью матрицы инциденций RГ, представляющей собой прямоугольную таблицу размером n m, строки которой помечены элементами xi X, столбцы – элементами yj Y, а на пересечении xi строки и yj столбца ставится элемент rij = 1, если <xi, yj> F и rij = 0, если <xi, yj> F.

• 3 -й – Графически соответствие как отношение между множествами можно задать в виде графа, вершинами которого являются элементы хi X, расположенные в одну линию, и элементы yj Y, расположенные в другую линию, а дугами графа являются пары <xi, yj> F, т. е. стрелки, идущие от хi к yj.

ПРИМЕР: Задано соответствие Г = (X, Y, F), множества определены как X = {x 1, x 2, x 3, x 4}, Y = {y 1, y 2, y 3}, F = {<x 1, y 2>, <x 2, y 1>, <x 2, y 2>, <x 4, y 1>, <x 4, y 2>, <x 4, y 3>}. • В данном соответствии область определения pr 1 F = {x 1, x 2, x 4}, • а область значений pr 2 F = {y 1, y 2, y 3}. • • •

• Матрица инциденций RГ данного соответствия имеет вид: • y 1 y 2 y 3 • x 1 0 • x 2 1 1 0 • x 3 0 0 0 • x 4 1 1 1 • Область определения соответствия множество ненулевых строк, область значений – множество ненулевых столбцов.

• Граф соответствия Г имеет вид: • x 1 x 2 x 3 x 4 • y 1 y 2 y 3 • Из примера следует, что область определения образуется теми х Х, из которых выходит дуга, а область значений – теми y Y, в которые заходит хотя бы одна дуга.

• На множествах X и Y можно рассматривать семейство различных соответствий, начиная от соответствия с пустым графиком F= , которому соответствует нулевая RГ, и кончая соответствием с графиком F = X Y, называемым полным, и которому соответствует RГ со всеми единицами. • Таким образом, число различных соответствий Г на данных множествах X и Y совпадает с числом различных n x m матриц из нулей и единиц и не превышает 2 nm.

Операции над соответствиями • 1. ОБЪЕДИНЕНИЕ. • Заданы произвольные соответствия – • Г=(X, Y, F) и ∆=(Z, W, P). • Объединением соответствий Г и ∆ называется соответствие • Г ∆=(X Z, Y W, F P).

ПРИМЕР: Заданы: Г=(X, Y, F), X={x 1, x 2, x 3}, Y={y 1, y 2}, F= {<x 1, y 1>, <x 2, y 2>, <x 3, y 1>}; ∆=(Z, W, P), Z={x 1, x 2, x 3}, W={y 1, y 2, y 3}, P= {<x 1, y 2>, <x 2, y 3>}; Определим соответствие • Г ∆=(X Z, Y W, F P). • X Z={x 1, x 2, x 3}, Y W={y 1, y 2, y 3}, • F P= {<x 1, y 1>, <x 2, y 2>, <x 3, y 1>, • <x 1, y 2>, <x 2, y 3>}. • • •

ЛЕКЦИЯ 11 ОПЕРАЦИИ НАД СООТВЕТСТВИЯМИ 15. 11. 2012 г.

в виде графа: • x 1 x 2 x 3 • Г • x 1 x 2 x 3 ∆ y 1 y 2 x 1 x 2 x 3 Г ∆ y 1 y 2 y 3

• 2. ПЕРЕСЕЧЕНИЕ: • Пересечением соответствий Г и ∆ называется соответствие • Г ∆=(X Z, Y W, F P). • Пример – исходные соответствия те же. • Определим пересечение: • Г ∆=(X Z, Y W, F P). • X Z={x 1, x 2, x 3}, Y W={y 1, y 2}, • F P= {<x 2, y 2>}.

• x 1 x 2 x 3 • В виде графа: x 1 x 2 x 3 • Г ∆ • y 1 y 2 x 1 x 2 x 3 Г ∆ y 1 y 2 y 3 y 1 y 2

• 3. РАЗНОСТЬ: • Разностью соответствий Г и ∆ называется соответствие • Г ∆ = (X Z, Y W, F P). • Пример – исходные соответствия те же. • Определим разность: • Г ∆ = (X Z, Y W, F P). • Заметим, что из графика F P необходимо исключить пары, не являющимися элементами множества (X Z) (Y W).

• Для заданных Г и ∆ X Z = , Y W = , F P = , поэтому Г ∆ = . • 4. СИММЕТРИЧЕСКАЯ РАЗНОСТЬ: • Симметрическая разность соответствий Г и ∆ это соответствие • Г ∆ = (X Z, Y W, F P). • Из графика F P необходимо удалить пары, не принадлежащие множеству (X Z) (Y W).

• Для заданных Г и ∆ X Z = , Y W= {y 3}, F P = , поэтому Г ∆ = . • 5. ВКЛЮЧЕНИЕ СООТВЕТСТВИЙ: • Соответствие Г=(X, Y, F) включается в соответствие Г| =(X|, Y|, F|), если • X X |, Y Y |, F F |. • Операция включения соответствий обозначается Г Г|.

• 6. ДОПОЛНЕНИЕ СООТВЕТСТВИЯ: • Если Г Г|, то дополнением соответствия Г до Г| является соответствие • __ • Г = (X|, Y|, F|F). • Если для соответствия Г=(X, Y, F) не оговорено до какого соответствия берется дополнение ______ • Г, то имеется в виду, что оно берется до соответствия с полным графиком Гnm.

• Для данного соответствия Г = (X, Y, F) __ • • определим соответствие Г = (X, Y, (X Y)F) : • X = {x 1, x 2, x 3}, Y = {y 1, y 2}, • __ • (X Y)F = {< x 1, y 2>, <x 3, y 2>}.

• В виде графа это соответствие имеет вид: • x 1 x 2 x 3 • _ • Г • y 1 y 2

• 7. ИНВЕРСИЯ. • Инверсией соответствия Г=(X, Y, F) называется соответствие Г-1=(X, Y, F-1), • у которого график F-1 является инверсией графика F, причем F-1 Y X, • где Y – область отправления, • X – область прибытия.

• 8. КОМПОЗИЦИЯ. • Композицией соответствий Г = (X, Y, F) = (Z, W, P) называется соответствие и • Г = (X, W, F P), • у которого область отправления совпадает с областью отправления соответствия Г, область прибытия совпадает с областью прибытия соответствия , а графиком является композиция графиков F и P. Если Y Z = , то F P – пустой график.

ПРИМЕР • Пусть даны соответствия: • Г=(X, Y, F), X={x 1, x 2, x 3}, Y={y 1, y 2}, F={<x 1, y 1>, < x 2, y 2 >, < x 3, y 1 >, < x 3, y 2>} и • =(Z, W, P), Z={y 1, y 2, y 3}, W={w 1, w 2, w 3}, P = {<y 1, w 1>, < y 1, w 3 >, < y 2, w 1 >, < y 2, w 2>, < y 3, w 2>}.

• Графическое представление соответствий: • x 1 x 2 x 3 y 3 • Г • y 1 y 2 w 1 w 2 w 3

• Г-1 = (X, Y, F-1), X = {x 1, x 2, x 3}, Y = {y 1, y 2}, F -1={<y , x >, < y , x >}, 1 1 2 2 1 3 2 3 • Г = (X, W, F P), где X={x 1, x 2, x 3}, • W={w 1, w 2, w 3}, • F P = {<x 1, w 1>, < x 1, w 3 >, < x 2, w 2>, <x 3, w 1>, < x 3, w 2 >, < x 3, w 3 >},

• Графическое представление Г-1 и F P : y 1 • y 2 x 1 • Г-1 • x 2 w 1 w 2 x 3 F P x 1 x 2 x 3 w 3