Лекция 10 Основы алгебры логики Измерение информации

Лекция № 10 Основы алгебры логики. Измерение информации.

2 План: 1 1. Логика высказываний. Логические операции. 2 2. Законы логики. 3 3. Таблица истинности. Логические схемы. 4 4. Измерение информации.

ЛОГИКА — это наука о формах и способах мышления. Логика делится на 2 раздела: классическая логика математическая логика.

Аристотель (384 - 322 гг. до н. э. ) Основоположник классической логики Предмет изучения – правильные рассуждения, которые называются силлогизмами.

Далее значительный вклад в развитие логики внесли Основные формы мышления: Готфрид Вильгельм Лейбниц Джордж Буль (1815 - 1864 гг. ) (1646 - 1716 гг. ) Теперь для решения логических задач используются математические символы и методы. Логика становится математической.

Понятие МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА изучает правила представления высказываний, построения новых высказываний из имеющихся с помощью логических преобразований, а также способы установления истинности или ложности высказываний. АЛГЕБРА ЛОГИКИ – раздел математической логики, изучающий строение сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов. Основным объектом математической логики является высказывание.

ВЫСКАЗЫВАНИЕ – это повествовательное предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Иногда высказывание обозначают прописными латинскими буквами, а само высказывание заключают в скобки {}. ВЫСКАЗЫВАНИЯ: • {Рубль – российская валюта} (истинное). • {Спортом заниматься полезно} (истинное). • {На яблонях растут бананы} (ложное).

Повелительные, вопросительные и бессмысленные предложения не являются высказываниями! Например: «Стой!» – не высказывание, т. к. это повелительное предложение; «x 2+5 x-6=0» – не высказывание, т. к. не указано значение х, при котором оно рассматривается. Высказывание не содержит внутреннего противоречия и несет смысловую нагрузку. Например: «Это утверждение не может быть истинным» – не является высказыванием, т. к. этот ответ представляет предложение, в котором скрыто внутреннее противоречие.

Высказывания ВЫСКАЗЫВАНИЯ ПРОСТЫЕ СОСТАВНЫЕ (СЛОЖНЫЕ) A, B, C A И B, A ИЛИ B К ПРОСТЫМ ВЫСКАЗЫВАНИЯМ относят неразложимые высказывания. Пример: A= {Число 122 – четное}. СЛОЖНОЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ – высказывание, которое можно разложить на части (простые высказывания). Сложное высказывание получается из простых путем выполнения над ними логических операций. Пример: B= {10 не делится на 2 И 5 больше 3}.

ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ ЛОГИЧЕСКАЯ ОПЕРАЦИЯ – способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний. Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют ТАБЛИЦЕЙ ИСТИННОСТИ СОСТАВНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ.

Основные логические операции

ИНВЕРСИЯ ИНВЕРСИЕЙ, или ЛОГИЧЕСКИМ ОТРИЦАНИЕМ, высказывания А называется высказывание, которое истинно в том случае, когда ложно высказывание А и ложно в противном случае. Обозначения: , (читается «не А» , «неверно, что А» ). Пример: A ={Компьютер работает} ={Компьютер не работает} А А 0 1 1 0

КОНЪЮНКЦИЯ, или ЛОГИЧЕСКОЕ УМНОЖЕНИЕ, образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «И» . КОНЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний А и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания истинны, и ложное в остальных случаях. Обозначения: A&B, A B (читается «А и B» ). Пример: A & B = {Число 11 положительное И нечетное} A = {Число 11 положительное} B = {Число 11 нечетное} А В A B 0 0 1 1 1

ДИЗЪЮНКЦИЯ, или ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ, образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «ИЛИ» . ДИЗЪЮНКЦИЕЙ двух высказываний А и B называется высказывание, которое ложно, когда оба высказывания ложны, и истинно в остальных случаях. Обозначения: A B, A+B, A|B (читается «А или B» ). Пример: A B = {Число 11 положительное ИЛИ нечетное} A = {Число 11 положительное} B = {Число 11 нечетное} А В A B 0 0 1 1 1 0 1 1

ИМПЛИКАЦИЯ Обозначения: A B, A B (читается «из А следует B» , «если А, то B» , «A влечет B» ). ИМПЛИКАЦИЕЙ, или ЛОГИЧЕСКИМ СЛЕДОВАНИЕМ, двух высказываний А (посылка) и B (заключение) называется высказывание, которое ложно, когда посылка А истинна, а заключение B – ложно, и истинно – в остальных случаях. «Житейский» смысл импликации. А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает. А В A B 0 0 1 1 1

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬЮ двух высказываний А и B называется высказывание, которое истинно, когда оба высказывания одновременно истинны или ложны, и ложно – в остальных случаях. Обозначения: А↔В, А≡В, А~В (читается «А эквивалентно B» , «А, тогда и только тогда, когда B» ). Пример: A↔B={Параллелограмм является ромбом тогда и только тогда, когда его диагонали перпендикулярны} A={Параллелограмм является ромбом} B={Диагонали параллелограмма перпендикулярны} А 0 0 1 1 В 0 1 А↔В 1 0 0 1

Приоритет логических операций • ИНВЕРСИЯ А • • КОНЪЮНКЦИЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ ИМПЛИКАЦИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ↔ Операция одного приоритета выполняется слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки ().

18 Логическая формула Логической формулой называется выражение, составленное из букв, обозначающих высказывания, знаков логических операций и скобок, удовлетворяющих следующим условиям: любая переменная, обозначающая высказывание – формула; если A и B – формулы, то , A B, A↔B – формулы (1); если в любую из формул (1) вместо переменной A и B подставить формулу, то получится формула.

19 Истинность логической формулы Логическое выражение называется тождественно истинным, если оно принимает значение 1 при любых наборах значений переменных, входящих в него.

Примеры 20 № 1. Из заданных логических выражений тождественно № 1. истинным является … A B A&B A&B&A 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 A B A&Bv. A 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 A B Av. Av. B 0 0 1 1 1 0 0 1 1

№ 2. Логическое выражение будет истинным при следующих значениях переменных А, В, С:

A=4, B=3, C=5 A=– 2, B=– 4, C=– 2 A=0, B=0, C=– 2 A B C A>B A=C (A>B)&(A=C) 4 3 5 1 0 0 1 0 -2 -4 -2 1 0 0 0 0 -2 0 1 1

№ 3. Записать с помощью логических формул следующие высказывания: A. «Если идет дождь, то крыши мокрые. Дождя нет, а крыши мокрые» . PS: союз «а» имеет смысл связки «и» . Решение: 1 -е предложение: A B. 2 -е предложение: A B. : A Объединяем два высказывания в одно связкой « » : (A B) B) (A B. «Точка X принадлежит отрезку [A, B]» . Решение:

Логическая функция Логической функцией называют функцию F(X 1, X 2, . . . , Хn), аргументы которой X 1, X 2, . . . , Хn (логические переменные) и сама функция F (логическая переменная) принимают значения 0 или 1. Логическая функция может задаваться в виде: логического выражения, таблицы истинности, логической схемы.

Законы алгебры логики

1. Закон двойного отрицания

2. Переместительный (коммутативный) закон

3. Сочетательный (ассоциативный) закон

4. Распределительный (дистрибутивный) закон

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана)

6. Закон поглощения

7. Закон исключения (склеивания)

8. Прочие законы

Пример: Упростить логическое выражение По закону де Моргана ( ): Согласно распределительному закону: Упрощаем выражение:

Пример: Какое значение должна принять переменная , тобы огическое ыражение Ач л в было истинным По закону де Моргана ( ): По дистрибутивному закону :

Таблица истинности Таблицу, показывающую, какие значения принимает логическая функция при всех сочетаниях значений ее аргументов, называют ТАБЛИЦЕЙ ИСТИННОСТИ ЛОГИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ. А В A B 0 0 1 1 1 А В A B 0 0 1 1 1 0 1 1

Алгоритм построения таблицы истинности 1. 2. 3. 4. 5. 6. Подсчитать количество переменных n в логическом выражении; Определить число строк в таблице, которое равно m = 2 n; Подсчитать количество логических операций в логическом выражении и определить количество столбцов в таблице, которое равно количеству переменных плюс количество операций; Ввести названия столбцов таблицы в соответствии с последовательностью выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов; Заполнить столбцы входных переменных наборами значений; Провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в п. 4 последовательностью.

Пример: Построить таблицу истинности выражения 5 4 1 3 2 Количество переменных n = 3, количество строк таблицы m = 23 = 8. Количество операций в выражении – 5, количество столбцов = n + 5 = 8

5 4 1 3 2

Пример: Определить истинность логической формулы: Решение: Определим порядок выполнения действий с учетом приоритета логических операций: Для решения задачи построим таблицу истинности этой формулы, перебрав все варианты значений логических переменных А, В и С. Здесь числовые обозначения для логических величин: 1 – истина, 0 – ложь. Данная логическая формула является тождественно истинной, т. е. истинной при любых значениях входящих в нее логических переменных.

Логические элементы Устройство, которое после обработки входных двоичных сигналов выдаёт на выходе сигнал, являющийся значением одной из логических операций, называется ЛОГИЧЕСКИМ ЭЛЕМЕНТОМ.

Название элемента НЕ (инвертор) И (конъюнктор) ИЛИ (дизъюнктор) И-НЕ ИЛИ-НЕ Изображение Логическая функция

Построение логических схем Каждой логической операции в выражении соответствует логический элемент, на входы которого поступают ее операнды. Каждой логической переменной соответствует вход на логической схеме. Построение необходимо начинать с логической операции, которая должна выполняться последней, располагая операнды у входов логического элемента. Затем, для каждого логического выражения, расположенного на входе данного элемента аналогичным образом повторяется построение логической схемы.

Пример: По заданной логической функции построить логическую схему. 3 1 5 2 4 A B F(A, B) A B

Пример: Логическая схема имеет два входа X и Y. Определить логические функции F 1(X, Y) и F 2(X, Y), которые реализуются на ее двух выходах. X Y F 1(X, Y) F 2(X, Y)

ИЗМЕРЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ АЛФАВИТНЫЙ ПОДХОД К ИЗМЕРЕНИЮ ИНФОРМАЦИИ При измерении количества информации в тексте, записанном с помощью N-символьного алфавита, используют следующие формулы: I = i k, i = log 2 N, N = 2 i, где I – количество информации в тексте, i – количество информации, которое несет один символ (в битах), k – количество символов в тексте, N – мощность алфавита. 46

47 Задача. Сообщение, записанное с помощью 64 символьного алфавита, занимает 3 страницы, на каждой странице по 240 символов. Найти количество информации в сообщении (в байтах). Решение:

48 СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ ПОДХОД К ИЗМЕРЕНИЮ ИНФОРМАЦИИ Если после получения какого-то сообщения неопределенность знаний уменьшается в 2 раза, то это сообщение несет в себе 1 бит информации. Т. е. , если событие имеет 2 исхода, то при наступлении каждого из них неопределенность знаний уменьшается в 2 раза. Количество информации, полученное из сообщения о том, что наступило одно из N равновозможных событий, можно вычислить по формуле Хартли: х = log 2 N, где х – количество информации в сообщении (в битах), N – количество равновозможных (равновероятных) событий, только одно из которых наступило.

49 Задача. Бросают игральный кубик. Найти количество информации в сообщении о том, что выпало число 5. Решение: N = 6 х = log 2 N = log 26 2, 58 бит

50 ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К ИЗМЕРЕНИЮ ИНФОРМАЦИИ Формулу для вычисления количества информации в случае различных вероятностей событий предложил К. Шеннон: где I -количество информации; N - количество возможных событий; Pi – вероятность i-го события

ВЕРОЯТНОСТНЫЙ ПОДХОД К ИЗМЕРЕНИЮ ИНФОРМАЦИИ Пусть в результате испытания наступило некоторое событие. Вероятность его наступления можно вычислить по формуле: где N – количество всех возможных исходов испытания, K – количество исходов испытания, удовлетворяющих данному событию. Количество информации в сообщении о том, что наступило одно из возможных событий можно вычислить по формуле: где P – вероятность наступления события, х – количество информации в сообщении о том, что наступило данное событие.

52 Задача. В непрозрачном мешочке хранятся 10 белых, 20 красных, 30 синих и 40 зеленых шариков. Какое количество информации будет содержать зрительное сообщение о цвете вынутого шарика. Решение: 10 + 20 + 30 + 40 = 100 - шариков всего pб = 10/100; pк = 20/100; pз =30/100; pс = 40/100 pб = 0, 1; pк = 0, 2; pз = 0, 3; pс = 0, 4 Таким образом, I ≈ 1, 85 бит.