Лекция № 10 Лектор:

Пусть - матрица, - вектор, - число. Рассмотрим уравнение называется собственным значением,

Например, если то т. е. длина вектора увеличивается в 2 раза. Если

Рассмотрим Запишем матричное уравнение в координатной форме.

Получилась система линейных однородных уравнений. Такая система всегда имеет нулевое решение. Нас интересует случай,

Пример. Система имеет бесконечное множество решений. Все решения являются точками прямой

Вернемся к нашей системе. Составим определитель системы или Получилось квадратное уравнение.

Примеры. 1. Найти собственные значения матрицы Запишем матрицу

или Находим корни характеристического уравнения Мы нашли собственные

Нахождение собственных векторов 1. Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению Рассмотрим уравнение и

Можно считать, что мы нашли собственный вектор. Но обычно этот вектор нормируют, т. е.

Получим - собственный вектор, соответствующий собственному значению

Аналогично найдем т. е. собственный вектор, соответствующий

Пусть тогда Нормируем, т. е. разделим на Получим

Функция. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. Непрерывность

1. Предел в точке. Рассмотрим пример. Построить график функции

Способы вычисления предела 1. Предел дроби при деление на старшую степень. Пример.

2. Разложение на множители, когда Пример.

Односторонние пределы Во многих случаях функция определена только с одной стороны от

Опр. Функция называется непрерывной в точке если Все элементарные функции

Опр. Если в точке функция не является непрерывной, то - точка разрыва. Рассматриваются

Пример. - точка разрыва 1 -го рода (конечный разрыв).

Пример. - точка разрыва 2 -ого рода (бесконечный разрыв).

Скачать презентацию Лекция № 10 Лектор:

10 собств знач матрицы.ppt

Количество слайдов: 30

> Лекция № 10 Лектор: доц. Лаптева Надежда Александровна Тема: Собственные Лекция № 10 Лектор: доц. Лаптева Надежда Александровна Тема: Собственные значения и собственные векторы матрицы

>Пусть - матрица, - вектор, - число. Рассмотрим уравнение называется собственным значением, Пусть - матрица, - вектор, - число. Рассмотрим уравнение называется собственным значением, - собственным вектором. Такое преобразование изменяет длину вектора в раз.

>Например, если то т. е. длина вектора увеличивается в 2 раза. Если Например, если то т. е. длина вектора увеличивается в 2 раза. Если же то длина вектора уменьшается в 2 раза.

>Рассмотрим Запишем матричное уравнение в координатной форме. Рассмотрим Запишем матричное уравнение в координатной форме.

>Преобразуем Преобразуем

>Получилась система линейных однородных уравнений. Такая система всегда имеет нулевое решение. Нас интересует случай, Получилась система линейных однородных уравнений. Такая система всегда имеет нулевое решение. Нас интересует случай, когда система имеет ненулевое решение. Теорема. Система линейных уравнений имеет ненулевое решение, если её определитель равен нулю.

>Пример. Система имеет бесконечное множество решений. Все решения являются точками прямой Пример. Система имеет бесконечное множество решений. Все решения являются точками прямой

>Вернемся к нашей системе. Составим определитель системы или Получилось квадратное уравнение. Вернемся к нашей системе. Составим определитель системы или Получилось квадратное уравнение. Такое уравнение называется характеристическим. Корни уравнения – это собственные значения матрицы

>Примеры. 1. Найти собственные значения матрицы Запишем матрицу Примеры. 1. Найти собственные значения матрицы Запишем матрицу

> или Находим корни характеристического уравнения Мы нашли собственные или Находим корни характеристического уравнения Мы нашли собственные значения. Ответ:

>Нахождение собственных векторов 1. Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению Рассмотрим уравнение и Нахождение собственных векторов 1. Найдем собственный вектор, соответствующий собственному значению Рассмотрим уравнение и вместо подставим

>Тогда получим или Тогда получим или

> Отсюда Положим тогда Получилось Отсюда Положим тогда Получилось

>Можно считать, что мы нашли собственный вектор. Но обычно этот вектор нормируют, т. е. Можно считать, что мы нашли собственный вектор. Но обычно этот вектор нормируют, т. е. приводят его к вектору единичной длины. Для этого найдем длину вектора и каждую координату разделим на

>Получим - собственный вектор, соответствующий собственному значению Получим - собственный вектор, соответствующий собственному значению

>Аналогично найдем т. е. собственный вектор, соответствующий Аналогично найдем т. е. собственный вектор, соответствующий

>Пусть тогда Нормируем, т. е. разделим на Получим Пусть тогда Нормируем, т. е. разделим на Получим

>Ответ: соответствует Ответ: соответствует

> Функция. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. Непрерывность Функция. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Пределы на бесконечности. Непрерывность функции. Точки разрыва функции и их классификация.

>1. Предел в точке. Рассмотрим пример. Построить график функции 1. Предел в точке. Рассмотрим пример. Построить график функции

> 2 1 Формула теряет смысл при 2 1 Формула теряет смысл при

>В этом случае пишут: при По-другому: В этом случае пишут: при По-другому:

> Способы вычисления предела 1. Предел дроби при деление на старшую степень. Пример. Способы вычисления предела 1. Предел дроби при деление на старшую степень. Пример.

>2. Разложение на множители, когда Пример. 2. Разложение на множители, когда Пример.

> Односторонние пределы Во многих случаях функция определена только с одной стороны от Односторонние пределы Во многих случаях функция определена только с одной стороны от Тогда предел называют пределом слева, или пределом справа. Пример 1.

>Пример 2. Пример 2.

>Опр. Функция называется непрерывной в точке если Все элементарные функции Опр. Функция называется непрерывной в точке если Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Пример. - непрерывные функции.

>Опр. Если в точке функция не является непрерывной, то - точка разрыва. Рассматриваются Опр. Если в точке функция не является непрерывной, то - точка разрыва. Рассматриваются точки разрыва 1 -го и 2 -ого рода.

>Пример. - точка разрыва 1 -го рода (конечный разрыв). Пример. - точка разрыва 1 -го рода (конечный разрыв).

>Пример. - точка разрыва 2 -ого рода (бесконечный разрыв). Пример. - точка разрыва 2 -ого рода (бесконечный разрыв).