Лекция 10 Геометрические приложения определенного интеграла 1 Вычисление

Лекция 10 Геометрические приложения определенного интеграла. 1. Вычисление площадей плоских фигур. 1) В декартовых координатах.

Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямыми параболой и осью абсцисс. Решение.

2) В параметрической форме.

Пример. Вычислить площадь эллипса. Решение. Уравнения эллипса в параметрической форме:

3) В полярных координатах. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и лучами

Пример. Вычислить площадь, заключенную внутри лемнискаты Бернулли Решение. Фигура симметрична, вычислим одну четвертую площади:

2. Вычисление длины дуги кривой. 1) В декартовых координатах. 2) В параметрической форме.

Пример. Вычислить длину витка винтовой линии Решение.

3) В полярных координатах. Пример. Решение. Вычислить длину окружности радиуса

3. Вычисление площади поверхности вращения. 1) В декартовых координатах. Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Оx кривой 2) В параметрической форме.

3) В полярных координатах.

4. Вычисление объёмов тел. 1) Вычисление объёмов по заданным площадям поперечных сечений. - площадь любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Оx. Объём тела

Пример. Найти объём тела, основание которого – круг радиуса , а сечение плоскостью, перпендикулярной любому диаметру круга равнобедренный треугольник высотой Решение. Основание треугольника

2) Вычисление объёмов тел вращения. Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой вращается вокруг оси Оx, то объём тела вращения Здесь

Пример. Найти объём конуса с высотой радиусом основания. Решение. и

Несобственные интегралы. Если функция , то непрерывна на интервале называется несобственным интегралом первого рода.

Точно также, для интервала Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует, или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся. Для интервала

Обобщённая формула Ньютона-Лейбница. Если - первообразная для функции на промежутке , то Точно также,

Пример. Вычислить несобственные интегралы, или доказать что они расходятся. (сходится) (расходится) (предел не существует, поэтому интеграл расходится)

Признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами. Признаки сравнения 1. Пусть при Тогда, если сходится, то сходится и Если то расходится и расходится,

2. Если при и существует конечный предел то интегралы ведут себя одинаково в отношении сходимости и расходимости.

Пример. Исследовать на сходимость Решение. расходится и исходный интеграл.

Несобственные интегралы второго рода. Если функция непрерывна на интервале и неограничена вблизи кроме того то называется несобственным интегралом второго рода.

Точно также, для функции непрерывной на и неограниченной вблизи точки : Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если предел не существует, или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Для функции непрерывной на отрезке всюду, кроме некоторой точки и неограниченной вблизи Если каждый из интегралов в правой части равенства сходится, то несобственный интеграл называется сходящимся. В противном случае – расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость Решение. Функция не ограничена при По обобщенной формуле Ньютона-Лейбница: несобственный интеграл сходится.

Признаки сходимости несобственных интегралов от неограниченных функций такие же, как и признаки сходимости интегралов с бесконечными пределами.