Лекция 1 Векторы Вопросы 1 Векторы и

Лекция № 1. Векторы Вопросы 1. Векторы и скаляры. Операции над векторами. 2. Векторное пространство. 3. Скалярное произведение векторов. 4. Размерность и базис векторного пространства, линейная зависимость векторов.

1. Скаляры и векторы Определение. Величина, полностью характеризуемая своим числовым значением в выбранной системе единиц, называется скаляром (напр. : масса, температура, объем…).

Определение. Величина, характери зуемая и числовым значением и направлением, называется ВЕКТОРОМ (напр. : сила, скорость, ускорение…). Обозначения: Под модулем (длиной) вектора понимается его числовое значение без учета направления:

Вектор , модуль которого равен нулю, называется НУЛЕВЫМ или НУЛЬ-ВЕКТОРОМ (направление нулевого вектора произвольное). Два вектора и считаются равными, если они расположены на параллельных или совпадающих прямых, имеют одинаковую длину

и одинаково направлены. Противоположные векторы – это векторы, лежащие на параллельных прямых, равные по величине и имеющие противоположное направление. Действия над векторами Определение. СУММОЙ векторов, например нескольких

называется вектор по величине и направлению равный замыкающей пространственной ломаной линии. Векторы называются КОЛЛИНЕАРНЫМИ, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются КОМПЛАНАРНЫМИ, если они расположены в одной

плоскости или плоскостях. в параллельных Сложение векторов производится по правилу параллелограмма: векторы и сносятся в одну точку О, на них строят параллелограмм ОАСВ. Тогда вектор , направленный по его диагонали, называется СУММОЙ ВЕКТОРОВ и.

А С О В

Поскольку вектор то можно дать нахождения суммы равен вектору другое ∆-ка): суммой векторов правило (правило и явля- ется вектор, идущий из начала в конец , если вектор к концу вектора , т. е. приложен

Это правило распространяется на любое число слагаемых: если векторы образуют ломаную OAB…KL, то суммой этих векторов является вектор , замыкающий эту ломаную, т. е.

A B K O сум ма L

В частности, если ломаная замыкается т. е. О=L, то сумма ее звеньев равна нуль-вектору. Сложение векторов подчинятся обычным законам сложения: переместительному и сочетательному, а также обладает обратной операцией – вычитанием.

РАЗНОСТЬЮ двух векторов и , приведенных к общему началу О, является вектор, направленный из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого вектора , т. е. Это правило легко вытекает из правила суммы:

Векторы можно умножать на скаляры. Вектор число, если: 1) где λ коллинеарен - некоторое ; 2)2) 3)3) при и направлены в 4)одну сторону; 5)при и 6)разные стороны. направлены в

Свойства произведения вектора на скаляр 1) 2) 3) 4) 5)

Линейные операции над любыми векторами удовлетворяют следующим свойствам: • х+у = у+х – переместительное; • (х+у)+z=x+(y+z) – сочетательное свойство; • α(βх)=(αβ)х – ассоциативное относительно числового множителя;

• • • α(х+у)=αх+αу – распределительное относительно суммы векторов; (α+β)х=αх+βх – распределительное относительно суммы числовых множителей; существует нулевой вектор 0=(0, 0, …, 0) такой, что х+0=х для любого вектора х; для любого вектора х сущестует противоположный вектор (–х) такой, что х+(–х)=0; 1∙х=х для любого вектора х.

Опр. Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее вышеприведенным свойствам, называется векторным пространством.

Опр. Вектор am называется линейной комбинацией векторов а 1, а 2, …, am-1 векторного пространства R, если он равен сумме произведений этих векторов на произвольные действительные числа: am = λ 1 a 1 + λ 2 a 2 +…+ λm-1 am-1, где λ 1, λ 2, …, λm-1 – любые действительные числа.

Опр. Векторы а 1, а 2, …, аm векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа λ 1, λ 2, …, λm, не равные одновременно нулю, что λ 1 а 1 + λ 2 а 2 + …+ λmam = 0. В противном случае векторы а 1, а 2, …, аm называются линейно независимыми.

Опр. Линейное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых векторов, а любые из (n + 1) векторов уже являются зависимыми. Другими словами, размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Число n называется размерностью пространства R.

Опр. Совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства R называется базисом.

Декартовы прямоугольные координаты в пространстве Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием единицы масштаба для измерения длин и трех пересекающихся в т. О взаимно перпендикулярных осей: оси абсцисс, ординат, аппликат (OZ). О – начало координат.

Положение координатных осей можно задать с помощью единичных векторов , направленных соответственно по осям Oх, Oу, Oz; векторы называются основными, БАЗИСНЫМИ, ОРТАМИ. или Пусть в пространстве дана точка М. Проектируя ее на ось Оx, получим Мх, координата равна ОМх.

z Мz разложение вектора на составляющие М Мy Мx x y P Mx = M y= Mz= M= + +

Определение. Под декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z точки М понимаются проекции ее радиуса-вектора на соответствующие оси координат, т. е. Радиус-вектор r является диагональю параллелепипеда с измерениями |x|, |y|, |z|.

Если обозначить через α, β, углы, образованные радиусом-вектором с координатными осями, то будем иметь x = rcosα; у = rcosβ; z = rcos. Косинусы cosα, cosβ, cos называются направляющими косинусами радиуса-вектора. Рассмотрим х2 + у2 + z 2 = r 2(cos 2α + cos 2β + cos 2 ) = r 2.

Отсюда cos 2α + cos 2β + cos 2 = 1, т. е. сумма квадратов направляющих косинусов радиуса-вектора точки пространства равна единице.

Координаты векторов Координатами ax, ay, az вектора называют его проекции на координатные оси Оx, Оy, Оz и пишут ax, ay, az.

Вектор , направленный из начала координат в точку М(x, y, z), называется радиусом-вектором точки М. Его проекции на оси координат равны координатам точки М, т. е.

Если даны координаты точек А(x 1, y 1, z 1) и B(x 2, y 2, z 2), то координаты вектора получаются вычитанием из координат его конца В координат начала А:

Длину вектора вычисляем по формуле

Расстояние между двумя точками, или длина вектора, вычисляется по формуле

Скалярное произведение векторов Определение. Под скалярным произведением двух векторов понимается число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Свойства скалярного произведения 1. Переместительное: 2. 2. Распределительное: 3. 3.

Два вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Угол между векторами Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их одноименные координаты пропорциональны:

Векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма парных произведений их одноименных координат равна нулю: axbx + ayby + azbz = 0.