Лекция 1 Векторы линейные операции над векторами скалярное

Лекция 1. Векторы, линейные операции над векторами, скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, условие компланарности векторов. 1

2

3

4

5

Векторное произведение. Определение. Свойства. Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца вектора кратчайший поворот от к кажется происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка левая. ; ; ; . Если есть две тройки либо обе правые, либо обе левые, то они называются одной ориентации. 6

Определение 1. Векторным произведением называется третий вектор , который удовлетворяет трем условиям: 1. 2. 3. Векторы Обозначают: : образуют правую тройку. или: [ ], 7

Направление вектора с можно определить по правилу правого винта: если поворот головки винта соответствует повороту вектора а к вектору b по наименьшему углу, то поступательное перемещение винта будет указывать направление вектора с. 8

Замечание: Определение 1 однозначно определяет вектор в том случае, если не один из множителей не равен 0. В случае, если хоть один множитель = 0 , то - коллинеарны и [ ] - равно нулевому вектору. Геометрические свойства векторного произведения Теорема 1. Для того чтоб и были коллинеарны необходимо чтоб их векторное произведение равнялось нулевому вектору. 9

Доказательство Необходимость. Пусть определению 1). Достаточность. Пусть Из определения 1 , либо. а) , б) пусть хотя бы один из и (по. , нуль тогда указанный вектор нулевой, он не имеет определенного направления, следовательно, его можно считать коллинеарным любому вектору. 10

Теорема 2. Модуль векторного произведения равняется площади параллелограмма, построенного на и , как на сторонах. Действительно, из определения 1 следует: Следствие: 11

Алгебраические свойства векторного произведения 1) Антипереместительное 2) Сочетательное свойства относительно скаляра (ассоциативность) 3) Распределительное свойство относительно суммы (дистрибутивность) Д/З: доказать одно из свойств! 12

§ 2. Векторное произведение в координатной форме записи базис Рассмотрим векторное произведение основных ортов. 1) 2) 3) тройку. образуют правую 13

Итак Пусть в прямоугольной декартовой системе координат XOYZ или 14

По распределительному свойству и можно перемножать по правилу многочленов. По сочетательному свойству (2) можно выносить постоянный множитель за знак векторного произведения. По антипереместительному свойству при перестановке сомножителей следует изменять знак 15

Раскрывая символический определитель третьего порядка по элементам 1 -ой строки мы получим координаты в форме (**) 16

§ 3. Условие колинеарности двух векторов в координатной форме Пусть Значит все три координаты этого вектора в соотношении (**) - нули. То есть то есть если коллинеарен , то их одноимённые координаты пропорциональны. 17

§ 4. Смешанное произведение трёх векторов Определение. Смешанным или векторноскалярным произведением трёх векторов , , называют число, равное скалярному произведению на и обозначается Геометрический смысл смешанного произведения Теорема. Смешанное произведение трёх некомпланарных векторов , , равно объему параллепипеда , построенного на этих векторах как на ребрах, взятому со знаком «+» , если - правая и со знаком «-» если - левая тройка 18

Доказательство правая тройка левая тройка 19

То есть в смешанном произведении безразлично какие из векторов перемножаются векторно, лишь бы не нарушить порядок сомножителей § 5. Условие компланарности трёх векторов Для того чтобы были компланарными, необходимо и достаточно: Доказательство Достаточность. Пусть - компланарны. 20

По определению 1: ч. т. д. Необходимость. Пусть По определению 1: Ч. т. д. Так как их скалярное произведение = 0 21

§ 6. Смешанное произведение в координатной форме Теорема. Если заданы в прямоугольной декартовой системе координат своими координатами то их смешанное произведение равняется определителю 3 -го порядка, строками которого являются координатные строки данных векторов. 22

Известно: Доказательство. Ч. т. д. 23