Лекция 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Лекция 1 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Любая точная наука изучает не сами явления, протекающие в природе, в обществе, а их математические модели, т. е. описание явлений при помощи набора строго определенных символов и операций над ними.

Задачи, исход которых нельзя предсказать с полной уверенностью, требуют изучения не только основных, главных закономерностей, определяющих явление в общих чертах, но и случайных, второстепенных факторов. Выявленные в таких задачах (опытах) закономерности называются статисти- ческими (или вероятностными).

Статистические закономерности исследуются методами специальных математических дисциплин — теории вероятностей и математической статистики. Теория вероятностей — математическая наука, изучающая закономерности, присущие массовым случайным явлениям. Предметом теории вероятностей являются математические модели случайных явлений.

Элементы комбинаторики Упорядоченным называется множество, в котором указан порядок следования элементов. Так, например, множества (a, b, c) и (a, c, b) есть различные упорядоченные множества.

Размещения из n элементов по k элементов Пусть некоторое множество А содержит n элементов. Каждое его упорядоченное подмножество, состоящее из k элементов, называется размещением из n элементов по k элементов. Через обозначают число всех размещений из n элементов по k (читается: «А из n по k» ).

Для числа размещений справедлива формула:

Перестановки из n элементов Размещение из n элементов по n называется перестановкой из n элементов. Количество всех таких перестановок обозначается . Из предыд формулы получим

Сочетания из n элементов по k элементов Пусть задано множество, состоящее из n элементов. Сочетанием из n элементов по k элементов называется каждое неупорядоченное подмножество, содержащее k элементов. Число всех сочетаний из n элементов по k элементов обозначается

Для числа сочетаний справедлива формула

Пример Для проведения экзамена создается комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить из 5 преподавателей? Решение.

Пример На втором курсе изучают 10 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание занятий на понедельник, если в этот день должно быть 4 различных предмета? Решение.

События и вероятность Эксперимент, испытание, опыт, процесс — это возникновение или преднамеренное создание определенного комплекса условий результатом которого является тот или иной исход. Событием называется исход испытания. События обозначаются большими латинскими буквами А, В, С, . .

Среди событий отличают достоверное и невозможное события. • Достоверное событие — это такое событие, которое всегда происходит при выполнении данного комплекса условий. Оно обозначается . • Невозможное событие — это такое событие, которое не может произойти при выполнении определенного комплекса условий. Обозначается

Примеры событий: выпадение орла при бросании монеты, выигрыш по облигации, увеличение курса доллара в следующем месяце, появление заявки на телефонной станции и т. д. Элементарными называются те из событий, которые нельзя разложить на составляющие их события. Элементарные события будем обозначать буквой Обозначим - пространство элементарных событий.

Любое событие А из пространства можно составить из элементарных событий. Пример В опыте с бросанием игральной кости (кубика) элементарными событиями являются выпадения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6. В этом же опыте событиями являются выпадения четного или нечетного числа.

Событие называется случайным, если оно может произойти, а может не произойти в данном опыте. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же опыте. В противном случае события называются совместными.

События A, B, C, … называются попарно- несовместными, если любые два из них несовместны. Несколько событий образуют полную группу, если они попарно несовместны и в результате каждого опыта происходит одно и только одно из них.

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными , если ни одно из них не является объективно более возможным, чем другие, т. е. все события имеют равные «шансы» . Пример Подбрасываем монету.

Действия над событиями Суммой событий A и B называется событие C=A+B , состоящее в наступлении хотя бы одного из них (т. е. или A , или B , или A и B вместе). Произведением событий A и B называется событие C=AB состоящее в совместном наступлении этих событий (т. е. A и B одновременно).

Разностью событий A и B называется событие C=A-B происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А , но не происходит событие В. Противоположным событию A называется событие которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A. Равенство событий А = В означает, что А В и В А, т. е. они состоят из одн тех же элементарных событий.

Понятие вероятности Под вероятностью события понимается некоторая числовая характеристика возможности наступления этого события. Существует несколько определений понятия вероятности.

Статистическое определение вероятности Пусть при проведении n испытаний некоторое событие А появилось т раз. Многочисленные эксперименты такого рода показывают, что при больших n отношение m/n называемое частотой события А, остается примерно постоянным. При статистическом определении вероятностью события А называется постоянная величина, вокруг которой колеблются значения частот при неограниченном возрастании числа n.

Классическое определение вероятности Классической схемой, или схемой случаев, называется испытание, при котором число элементарных исходов конечно и все из них равновозможны. Элементарное событие (исход) называется благоприятствующим событию А , если его появление влечет наступление события А (т. е. входит в число элементов, составляющих А).

Классической вероятностью события А называется отношение числа т элементарных событий, благо- приятствующих событию А , к числу n всех элементарных событий из этой схемы: Согласно классическому определению подсчет вероятности события А сводится к подсчету числа благоприятствующих ему исходов. Делают это обычно комбинаторными методами.

Свойства вероятностей 1. Вероятность невозможного события равна нулю, т. е. 2. Достоверного события равна единице, т. е. 3. Вероятность любого события не превосходит единицы, т. е. 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

Пример В коробке имеются 10 шаров, которые различаются только цветом. Среди этих 10 шаров 7 белых, остальные – черные. Из коробки взяли один шар. Найти вероятность того, что он 1) белый; 2) Черный; 3) Синий.

Пример В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Ha удачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что: среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш;

Геометрическое определение вероятности Геометрическое определение вероятности применяется в случае, когда исходы опыта равновозможны, а ПЭС (или ) есть бесконечное несчетное множество.

Рассмотрим на плоскости некоторую область , имеющую площадь , и внутри области область D с площадью

В области случайно выбирается точка X . Говорят: область . При этом попадание точки в область — достоверное событие, в D — случайное. Предполагается, что все точки области равноправны. Рассмотрим событие A: брошенная точка попадет в область D.

Геометрической вероятностью события A называется отношение площади области D к площади области , т. е. Геометрическое определение вероятности события применимо и в случае, когда области D и обе линейные или объемные.

В первом случае Во втором: где — длина, а V — объем соответствующей области.

Геометрическая вероятность обладает всеми свойствами, присущими классическому (и другим) определению: • 1. Геометрическая вероятность любого события заключена между нулем и единицей. • 2. Геометрическая вероятность невозможного события равна нулю. • 3. Геометрическая вероятность достоверного события равна единице.

Пример После бури на участке между 40 -м и 70 - м километром телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 50 -м и 55 -м километром линии?