Лекція 1 Тема Матриці та визначники 1 Матриці

Лекція 1 Тема. Матриці та визначники. 1. Матриці, основні поняття. Означення 1. Матрицею розміром mn називається прямокутна таблиця чисел, розміщених у m рядках і n стовпцях. Позначається матриця так: або скорочено де

Числа , що складають матрицю, називають її елементами. Елементи матриці , у яких номер рядка і стовпчика співпадають, утворюють головну діагональ матриці. Означення 2. Дві матриці назива ються рівними, якщо вони однакового розміру і їх відповідні елементи рівні між собою, тобто A = B, якщо

Різновиди матриць. 1. Матриця, у якої кількість рядків дорівнює кількості стовпців називається квадратною. Квадратну матрицю розміром nn називають матрицею n-го порядку. 2. Квадратна матриця, у якої всі елементи, крім елементів головної діагоналі, дорівнюють нулю, називають діагональною. Наприклад, 3. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі, дорівнює одиниці, називається одиничною. Позначають буквою E.

Наприклад, одинична матриця 3 -го порядку Одинична матриця n-го порядку має вигляд 4. Квадратна матриця називається трикутною, якщо всі елементи, розміщені по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю. 5. Матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю називають нульовою і позначають буквою О. Вона має вигляд:

6. Матриця, що складається з одного стовпця, називається матрицею-стовпцем, або вектором – стовпцем. Матриця, що складається з одного рядка, називається матрицею-рядком, або векторомрядком. Їх вигляд: 7. Матриця розміру 11, що складається з одного числа, ототожнюється з цим числом, тобто є число 5.

Означення 3. Якщо в матриці А поміняти місцями рядки і стовпці із збереженням їх порядку, то одержана матриця називається транспонованою до матриці А і позначається АT. Наприклад, якщо то Якщо то Транспонування матриць має таку властивість:

2. Дії над матрицями. Властивості дій над матрицями. Додавання матриць. Дію додавання матриць розглядають лише для матриць однакових розмірів. Означення 4. Сумою двох матриць та називається матриця така, що , де Приклад 1. Знайти , якщо ,

Розв’язання. Аналогічно визначається різниця матриць. Добуток матриці на число. Означення 5. Добутком матриці на дійсне число k називається матриця така, що де Приклад 2. Знайти добуток , якщо

Розв’язання. Додавання матриць та множення матриці на число має наступні властивості. 1. A + B = B + A. 2. A + (B + C) = (A + B) +C. 3. A + О = A 4. A – A = О 5. k(A + B) = k. A + k. B. 6. (k + p)A = k. A + p. A. 7. k(p. A) = (kp) A. А, B, C – матриці. k i p – деякі числа.

Множення матриць визначається тільки для узгоджених матриць. Означення 6. Матриця А називається узгодженою з матрицею B, якщо число стовпців матриці A дорівнює числу рядків матриці B. Означення 7. Добутком матриці на матрицю називається матриця для якої , де , тобто елемент і-го рядка і k-го стовпця матриці добутку С дорівнює сумі добутків елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи k-го стовпця матриці B.

Якщо матриці A i B квадратні одного розміру, то добутки AB та BA завжди існують. Легко показати, що AE = EA = A, де A–квадратна матриця, Е–одинична матриця того ж розміру. Приклад 3. Знайти добуток матриць , якщо , .

Розв’язання. Приклад 4. Знайти добуток , якщо

Розв’язання. Добуток AB не визначений, оскільки кількість стовпців матриці А не дорівнює кількості рядків матриці B. При цьому добуток BA визначено Добуток матриць має такі властивості: 1. A(BC) = (AB) C. 2. A(B +C) = AB +AC. 3. (A + B) C = AC + BC. 4. k(AB) = (k. A)B. 5. (AB)T = ВTАT 6. AО = ОA = О.

Означення 8. Матриці A і B називають переставними або комутативними, якщо AB =BA.

3. Визначники. Обчислення визначників. Означення 9. Квадратній матриці A n-го порядку можна поставити у відповідність число (або , або ), яке називають визначником цієї матриці. 1. При 2. При Обчислення визначника другою порядку можна проілюструвати такою схемою: Приклад 5. Знайти визначники матриць: а) б)

Розв’язання. а) б) При Визначник матриці А також називають її детермінантом.

При обчислені визначників третього порядку зручно користуватися правилом трикутника, яке схематично можна записати так: Приклад 6. Обчислити визначник матриці

Розв’язання. За іншою схемою дописуються два перших стовпчики до матриці А. В результаті дістають прямокутну матрицю розміром. Тоді додатні та від’ємні доданки беруть за схемою (правило – – – Саррюса): + + +

Приклад 7. Обчислити визначник за правилом Саррюса. Розв’язання. – + – +

4. Властивості визначників. Для визначників третього порядку можна навести властивості, які будуть справедливі для визначників довільного порядку. 1. Величина визначника не зміниться, якщо всі рядки змінити на стовпці з тим же номером 2. Перестановка двох стовпців або рядків визначника рівносильна множенню визначника на (-1).

3. Якщо визначник має два рівних стовпці чи рядки, то він дорівнює нулю. 4. Множення всіх елементів деякого рядка чи стовпця визначника на числа k, рівносильне множенню цього визначника на це число k. 5. Якщо всі елементи деякого рядка чи стовпця визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю. 6. Якщо відповідні елементи двох стовпців або рядків визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

7. Якщо кожен елемент деякого стовпця чи рядка визначника являє собою суму двох доданків, то визначник можна подати у вигляді суми двох визначників. 8. Якщо до елементів деякого стовпця чи рядка додати відповідні елементи іншого стовпця чи рядка, помножені на спільний множник, то величина визначника не зміниться.

5. Обчислення визначників n-го порядку. Мінори. Алгебраїчні доповнення. Розглянемо визначник n-го порядку Означення 10. Мінором елемента визначника n-го порядку називається визначник (n – 1)-го порядку, який одержимо з даного визначника шляхом викреслювання і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент .

Якщо визначник , то мінори , Означення 11. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називають мінор цього елемента, взятий із знаком “плюс”, якщо сума номерів рядка і стовпчика – число парне, та зі знаком “мінус”, якщо – непарне, тобто Приклад 8. Знайти алгебраїчні доповнення до елементів та визначника

Розв’язання. Теорема Лапласа. Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка чи стовпця на їх алгебраїчні доповнення. Приклад 9. Обчислити визначник матриці за теоремою Лапласа

Розв’язання. Для обчислення визначника вибирають рядок або стовпець, де є нульові елементи. Виберемо 1 стовпчик, маємо

Зведення визначника до трикутного вигляду. Користуючись властивостями визначника, його зводять до трикутного вигляду, коли всі елементи, що містяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку діагональних елементів, тобто Приклад 10. Обчислити визначник, звівши його до трикутного вигляду

Розв’язання. Поміняємо місцями перший та третій рядки, змінивши знак визначника, додамо до елементів другого рядка відповідні елементи першого рядка, помножені на (-3) , маємо Додамо до елементів другого рядка відповідні елементи першого рядка, помножені на (-2), одержимо

З третього рядка винесемо спільний множник (-3) за знак визначника Поміняємо місцями другий і третій рядки. При цьому знак визначника зміниться Додамо до елементів третього рядка відповідні елементи другого рядка, помножені на 6, одержимо