Лекция 1 Системы счисления Система счисления

Лекция 1 Системы счисления

Система счисления — это правила записи чисел с помощью письменных знаков (цифр, букв, других символов), а также соответствующие правила выполнения операций с этими числами.

1. Непозиционные системы счисления Непозиционная система счисления — такая система счисления, в которой значение цифры не зависит от её места в записи числа. Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …) 60 -ричная вавилонская система счисления 20 -ричная система счисления индейцев Майя

Десятичная египетская система счисления 235 =

Римская система счисления: I – 1 (палец), V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев), X – 10 (две ладони), L – 50, C – 100 (Centum), D – 500 (Demimille), M – 1000 (Mille) Правила: -Обычно не ставят больше трех одинаковых цифр подряд IV = 5 - 1 = 4 - если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)

Примеры: 3768 = 2983 = 1452 = 1999 = 4999 = 3999999=

Римская система счисления Недостатки: для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M) как записать дробные числа? как выполнять арифметические действия: CCCLIX + CLXXIV =? Где используется: номера глав в книгах: обозначение веков: «Пираты XX века» циферблат часов

Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная)

Славянская система счисления алфавитная система счисления (непозиционная) Часы Суздальского Кремля

2. Позиционные системы счисления Позиционная система счисления — это такая система счисления, в которой значение цифры ( «вес» ) полностью определяется её местом (позицией) в записи числа. 6375 = 6 * 1000 + 3*100 + 7*10 + 5*1.

• Алфавит системы счисления — это используемый в ней набор знаков. • Основание системы счисления — это количество знаков в алфавите (мощность алфавита). • Разряд — это позиция знака в записи числа. Разряды в записи целых чисел нумеруются с нуля справа налево.

Представление позиционного числа в развернутой форме записи Значение каждой цифры умножается на основание системы счисления в степени, равной разряду этой цифры, полученные величины складываются

Представления позиционного числа с помощью схемы Горнера • Эта форма позволяет найти число, используя только умножение и деление (без возведения в степень).

Разложение числа в системе счисления с натуральным основанием p>1 • Развернутая форма записи числа • Схема Горнера

• Оба способа можно использовать для перевода числа из любой позиционной системы в десятичную систему

Переход от десятичной системы к системе с основанием р. Очевидно, что десятичное число 194 можно представить не только как комбинацию степеней числа 10, но и как комбинацию степеней другого числа, например 5: 19410 = 1*53 + 2*52 + 3*51 + 4*50 = 12345 Если мы будем делить десятичное число 194 на основание той системы, в которую мы хотим перевести это число (5), мы найдем все цифры числа в этой (1234) как остатки от деления: (1*53 + 2*52 + 3*51 + 4*50 )/5 = (1*52 + 2*51 + 3*50 ) + 4 (1*52 + 2*51 + 3*50 )/5 = (1*51 + 2*50 )+ 3 (1*51 + 2*50 )/5= (1*50 )+ 2 (1*50 )= 1 Остатки нужно будет выписать в обратном порядке

• Для перевода числа из десятичной системы в систему счисления с основанием р нужно делить число на р, отбрасывая остаток на каждом шаге, пока не получится остаток < р. Затем надо выписать найденные остатки в обратном порядке.

• Перевести число из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. • 530, 6875(10) --> (2) • 530, 6875(10) --> (8) • 530, 6875(10) --> (16)

• Выполнить сложение и вычитание. Проверить правильность вычислений переводом исходных данных и результатов в десятичную систему счисления • • • 11001101, 1011(2) и 1001101, 011(2) 100100(2) и 10111(2) 1254, 2(8) и 1150, 54(8) 6005000(8) и 17532(8) 2 E 1, 8(16) и 19 A, 4(16).

Задания ЕГЭ Пример 1 Число 71 в некоторой системе с основанием х записывается как 56 х. Найти значение х.

Задания ЕГЭ Пример 1 Число 71 в некоторой системе с основанием х записывается как 56 х. Найти значение х.

Пример 2 Число 71 в некоторой системе с основанием х записывается как 155 х. Найти х.

• Число 71 в некоторой системе с основанием х записывается как 155 х. Найти х.

Пример 3 Найти все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 24 оканчивается на 3

• Найти все основания систем счисления, в которых запись десятичного числа 24 оканчивается на 3

Лабораторная • Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.

Лабораторная • Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 31 оканчивается на 4.

Пример 4 Найти все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11.

Найти все десятичные числа, не превосходящие 40, запись которых в системе счисления с основанием 4 оканчивается на 11. N = (k*4+1)*4+1 = k • 16 + 5 Подставляя k = 0, 1, 2, 3, . . . , находим соответствующие числа N = 5, 21, 37, 53, . . Из них только 5, 21 и 37 удовлетворяют условию (не больше 40).

Лабораторная • Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 26, запись которых в троичной системе счисления оканчивается на 22?

Лабораторная • Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается на 101?

Пример 5 Все 5 -буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. AAAАО 3. ААААУ 4. АААОА. . . Найти слово, которое стоит на 140 -м месте от начала списка

Лабораторная Все 4 -буквенные слова, составленные из букв К, Л, Р, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка: 1. КККК 2. КККЛ 3. КККР 4. КККТ …… Запишите слово, которое стоит на 67 -м месте от начала списка.

Лабораторная Все 5 -буквенные слова, составленные из букв Г, З, О, Ч, записаны в обратном алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ЧЧЧЧЧ 2. ЧЧЧЧО 3. ЧЧЧЧЗ 4. ЧЧЧЧГ 5. . Запишите слово, которое стоит на 381 -м месте от конца списка