Лекция 1 Прикладная математика Математическое обеспечение

Лекция 1 Прикладная математика Математическое обеспечение технологических процессов

Рекомендуемая литература: • Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах. • Кузнецов Ю. Н. , Кузубов В. И. , Волощенко А. В. Математическое программирование. • Ногин В. Д. , Протодьяконов И. О. , Евлампиев И. И. Основы теории оптимизации. • Меркулова Н. И. Прикладная математика для экономистов в примерах и задачах.

Введение В инженерной деятельности при решении многих вопросов, связанных с технологическими процессами, возникают задачи оптимизационного характера. Например, задачи определения наиболее эффективного режима работы различных технических систем, задачи организации производства, дающего наибольшую возможную прибыль при заданных ограничениях на ресурсы, транспортные задачи, задачи о составлении рациона и др. Постановка каждой задачи оптимизации включает два объекта: множество допустимых решений и целевую функцию (функционал), которую следует минимизировать или максимизировать на указанном множестве. С этой общей точки зрения и рассматриваются различные классы экстремальных задач, составляющие предмет изучения линейного, нелинейного, динамического, геометрического программирования, вариационного исчисления и теории оптимального управления. В задачах оптимизации целевая функция – это функция многих переменных, а допустимым множеством является подмножество евклидова пространства.

Евклидово пространство Элементы теории множеств Определение 1. Под множеством обычно понимают некоторый набор элементов произвольной природы. Например, множество точек круга. Если элемент x принадлежит множеству X, то это записывают так: . Определение 2. Множества X и Y называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Определение 3. Если каждый элемент множества X является элементом множества Y , то говорят, что X есть подмножество Y и пишут . Если , а , то . Иногда множество обозначают , где x 1 , x 2 , … - его элементы. Если X состоит из элементов x, обладающих свойством P(x), то пишут . Например, (0, 1] = {x|0 < x≤ 1}. Для указания множества X, элементы которого принадлежат Y и обладают свойством P(x) пишут . Определение 4. Множество, не содержащее ни одного элемента называется пустым.

Определение 5. Объединением двух множеств X и Y называют множество, обозначаемое , элементы которого принадлежат хотя бы одному из множеств X или Y. X Y Определение 6. Пересечением множеств X и Y называют множество, обозначаемое , элементы которого принадлежат одновременно и множеству X и множеству Y. X Y Определение 7. Разностью множеств X и Y называется множество, состоящее из элементов, которые принадлежат множеству X , но не принадлежат множеству Y. X Y Определение 8. Множество всех упорядоченных пар ( x , y ), где , называется декартовым произведением множеств X и Y и обозначается X×Y.

Евклидово пространство Rn Определение 1. Упорядоченный набор n вещественных чисел, записанных в виде столбца называется n-мерным вектором, где x 1 , x 2 , …, xn - компоненты или координаты этого вектора. Можно записать . Определение 2. Два n-мерных вектора считают равными, если их соответствующие компоненты совпадают, то есть xi =yi (i =1, 2, …, n).

Операции над векторами Если , , то операции следующим образом. 1. Сумма векторов . 2. Разность векторов . 3. Произведение вектора x на вещественное число (скаляр) λ . 4. Скалярное произведение .

Определение 3. Совокупность всех n-мерных векторов, для которых введены операции сложения, вычитания, умножения на скаляр , скалярное произведение называют n -мерным евклидовым пространством и обозначают Rn. Примеры евклидова пространства: R – множество вещественных чисел (одномерное евклидово пространство); R 2 – множество точек плоскости с фиксированной прямоугольной декартовой системой координат; R 3 – пространство трех измерений. Определение 4. Если = 0, то векторы x и y называются ортогональными. Определение 5. Нормой или длиной вектора называют число, обозначаемое ||x|| и определяемое формулой . Определение 6. Расстояние между точками x и y евклидова пространства обозначают через ρ(x, y) и определяют как Определение 7. Систему векторов x ( 1) , x (2) , … , x ( m ) называют линейно независимой системой, если равенство возможно лишь в случае λ 1 = λ 2 =…= λm= 0. Систему векторов не являющуюся линейно независимой называют линейно зависимой системой.

В евклидовом пространстве Rn всегда существует линейно независимая система из n векторов , а любая система из n+1 и более векторов является линейно зависимой. Любая линейно независимая система векторов n-мерного пространства образует базис. При этом любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации базисных векторов при некоторых λ 1 , λ 2 , …, λn. Пример 1. Система векторов B=(8; 5; 11), A 1=(1; 2; 3), A 2=(3; 2; 1), A 3=(3; 1; 2) – линейно зависима, так как B - линейная комбинация векторов A 1, A 2, A 3: B = 2 A 1 - A 2 +3 A 3 . Пример 2. Система единичных векторов n - мерного пространства линейно независима и образует один из базисов n - мерного векторного пространства. Например, вектор A=(3; - 2; 4) можно записать как линейную комбинацию векторов Е 1, Е 2, Е 3: A = 3 E 1 - 2 E 2 +4 E 3 , где E 1=(1; 0; 0), E 2=(0; 1; 0), E 3=(0; 0; 1).