Лекция 1 Основные понятия теории вероятностей Разработала Фаерштейн

Лекция 1 Основные понятия теории вероятностей Разработала Фаерштейн Л. В.

СОДЕРЖАНИЕ 1. Основные понятия теории вероятностей 2. Комбинаторика 3. Сложение и умножение вероятностей 4. Условная вероятность 5. Полная вероятность. Ф-ла Бейеса 6. ДСВ и НСВ, законы распределения. Точечные числовые характеристики. Выход 2

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (ТВ) ТВ – классическая математическая дисциплина, имеющая из всех математических дисциплин второе по значению применение в прикладных науках (первое – дифференциальные уравнения). На понятиях ТВ основана математическая статистика. 3

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Исходным (не определяемым) понятием в теории вероятностей является случайный эксперимент (опыт). Случайный эксперимент – это идеализация реально производимых экспериментов (бросание игрального кубика, стрельба по мишени, подбрасывание монеты, покупка лотерейного билета и т. п. ), про которые нельзя сказать, чем эти эксперименты закончатся, но можно представить возможные их исходы. 4

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Случайный математический эксперимент имеет четко оговоренное определенное число исходов. Исходы имеют синоним – событие. Случайным называется событие, которое в результате эксперимента может произойти или не произойти. 5

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Примеры. - сдача экзамена на положительную оценку - выигрыш в лотерею - наводнение в регионе. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита. 6

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Теория вероятностей занимается изучением случайных событий, которые повторяются многократно. Доказано, в т. ч. экспериментально, что при многократном повторении одного и того же события частота появления одного и того же результата остается все время одинаковой. 7

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Виды случайных событий. 1) невозможное 2) достоверное 3) несовместное (-ые) – появление одного события исключает появление других в одном испытании. События образуют полную группу, если в результате эксперимента (испытания) произойдет хотя бы одно из них. 8

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Примеры. 1) На лотерейный билет выпал выигрыш или нет (полная группа из двух событий) 2) Студент получил на экзамене положительную оценку (полная группа из трех событий). 9

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Классическое определение вероятности. Первое определение. Вероятность – это степень возможности появления события. Возможность можно характеризовать числом. Это число называют вероятностью события. Обозначают латинскими буквами: p, P(A), P. 10

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 11

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Примеры. 1. На полке библиотеки стоят 50 книг. 15 – история, 5 – физика, остальные – математика. Если достать книгу наугад, вероятность того, что это книга по математике, выше, чем по физике или истории, т. к. этих учебников больше. Сначала рассчитаем вероятности, какой вероятности учебник достали 12

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ В примере три возможных исхода по числу разных учебников, т. е. полная группа из трех событий. Легко заметить, что если бы все учебники были одинаковые, то m=n в формуле (1) 13

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 14

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 15

КОМБИНАТОРИКА Используется при вычислении вероятностей по формулам (1) и (2). Комбинаторика изучает количество комбинаций (подмножеств), которые можно составить из элементов конечного множества. Физические характеристики множества множеств безразличны. В комбинаторике три понятия. 16

КОМБИНАТОРИКА 17

КОМБИНАТОРИКА 18

КОМБИНАТОРИКА 19

КОМБИНАТОРИКА Замечание. В формулах (3)- (5) Замечание предполагалось, что выборка из элементов множества проводилась один раз. Чаще встречается такие два случая: Случай 1. Если объект А можно выбрать 1 m 1 способами, и после каждого такого выбора объект В можно выбрать m 2 способами, то пара объектов (А, В) может быть выбрана m 1*m 2 способами 20

КОМБИНАТОРИКА 21

КОМБИНАТОРИКА 22

КОМБИНАТОРИКА 23

КОМБИНАТОРИКА 24

КОМБИНАТОРИКА 25

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 26

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ если при стрельбе попали в цель (событие А), то появление события В (промаха) исключено. Формулу (6) можно распространить на любое число попарно независимых (несовместных) событий. 27

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 28

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 29

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. 2. Умножение независимых событий. Произведением событий А и В называется событие АВ, состоящее в их совместном появлении. Пример. Событие А – деталь стандартная, Пример событие В – деталь окрашенная , событие АВ – деталь стандартная и окрашенная. Умножение независимых событий можно распространить на любое их число. 30

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Пример 1. Студент сдает экзамены по 3 -м предметам. Он отлично выучил половину билетов по физике, 20% по математике и одну треть билетов по химии. Найти вероятность, что по всем трем предметам он получит «отлично» Решение. Событие А – сдача экзамена по физике на « 5» с вероятностью ½; Событие В – сдача экзамена на « 5» по физике с вероятностью 1/5; 31

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 32

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 33

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 34

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1. 5. Произведение условных вероятностей. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, остальных причем вероятность каждого следующего события вычисляется в предположении, что предыдущие события произошли. Порядок появления событий произошли не важен. 35

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 36

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 37

СЛОЖЕНИЕ И УМНОЖЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 38

ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 39

ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ Пример. В двух ящиках лежат детали. Пример Вероятность, что деталь из ящика I стандартная равна 0, 8 из ящика II – 0, 9. 1)Найти вероятность, что наудачу вынутая из любого ящика деталь окажется стандартной. Решение. Обозначим: событие А- вынули стандартную деталь В 1 – деталь из ящика I В 2 – деталь из ящика II 40

ПОЛНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ 41

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. Переходим к следующему разделу – случайным величинам. C. В. – это величина, которая может принимать в результате опыта только одно значение из заранее неизвестных возможных значений, зависящих от многих случайных причин. 42

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. (ПРОДОЛЖЕНИЕ) С. В. дискретные непрерывные 43

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Дискретные С. В. могут принимать значения из диапазона значений. Примеры дискретных С. В. : 1) число родившихся детей одного пола из n новорожденных 2) число отказов однотипного оборудования на m часов непрерывной работы 44

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Непрерывная С. В. - может принимать значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Примеры непрерывных С. В. : - температура воздуха на улице (может принимать бесконечное множество значений с некоторой точностью в долях градуса в некотором диапазоне) 45

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. (ПРОДОЛЖЕНИЕ) С. В. принимает некоторое значение из диапазона значений с какой-то вероятностью. Говорят, что задан закон распределения С. В. , если установлено соответствие между значениями С. В. и их вероятностями. 46

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. (по-другому говорят) CB может быть задан 1) таблично 2) графически 3) формулой (аналитически). 47

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. 48

ПОНЯТИЯ И ТИПЫ С. В. Следующий объект изучения – это СВ. Обозначается и равна 49

ХАРАКТЕРИСТИКИ С. В. Основная характеристика – М(Х), или, грубо, это среднее значение случайной величины, распределенной в интервале 50

ХАРАКТЕРИСТИКИ С. В. (ПРОДОЛЖЕНИЕ) Следующая характеристика – дисперсия D(X) (квадрат рассеяния СВ около среднего значения) Еще одной характеристикой является 51

ХАРАКТЕРИСТИКИ С. В. Еще две характеристики: Мода (Мо) –это такое значение случайной величины, вероятность которого больше вероятностей всех других значений. Медиана (Ме) – значение СВ, равноотстоящее от границ диапазона, при нечетном кол-ве значений. Если число значений ДСВ – четное, то медиана равна четное среднему арифметическому двух соседних равноотстоящих от концов диапазона значений. 52

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Пример. Некоторая случайная дискретная величина имеет закон распределения, заданный таблично: X 0 1 2 (значе ния) P(X) 0, 05 0, 15 0, 35 3 4 0, 11 0, 34 53

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Найти ее числовые характеристики: - моду, медиану - математическое ожидание, - дисперсию, - среднее квадратическое отклонение, - среднее арифметическое. 54

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. 55

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Найдем математическое ожидание М(Х): 56

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Найдем дисперсию D(X) 57

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Но дисперсия характеризует квадрат отклонения СВ от ожидаемого среднего значения. Чтобы посчитать само значения отклонение, найдем корень из дисперсии: 58

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Отклонение используется в случаях, когда требуется, чтобы размерности СВ и оценка рассеяния были одинаковыми (например, Х – в метрах, D(Х) - в кв. м. , тоже в метрах). 59

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Все перечисленные и вычисленные числовые характеристики называются точечными оценками случайной величины (являются числами) Есть еще интервальные оценки (это границы интервалов, куда попадает, например, математическое ожидание некоторой СВ). Интервальные оценки используются, если исследуется выборка 60

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. 61

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Полигон распределения 0. 4 0. 35 0. 3 p(x) 0. 25 0. 2 p(x) 0. 15 0. 1 0. 05 0 0 1 2 3 4 x 62

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. Перейдем к законам распределения – их видам и названиям. Очень широко используется закон распределения, который называется биномиальным 63

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. - Закон задается формулой Формула называется формулой Бернулли и применяется тогда, когда в любой серии испытаний одно и то же значение CВ имеет одинаковую вероятность. - 64

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Способ задания СВ в виде таблицы с ее значениями и вероятностями для НСВ неприменим. Для НСВ способ задания закона дается аналитически (в виде формулы), а чаще всего – через плотность распределения вероятностей (или просто через плотность вероятности). 65

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Еще один часто встречающийся закон распределения ДСВ - равномерный. Функция (закон) равномерного распределения выглядит так: 66

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. (a, b) – это интервал, где находятся все значения ДСВ. Такой же закон существует и для НСВ и имеет такую же формулу. 67

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Чаще всего встречаются такие виды распределения: - равномерное - показательное (экспоненциальное) - нормальное - 68

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 1. 1. Равномерный закон распределения Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале ), которому принадлежат все значения НСВ, плотность вероятности f(x) является постоянной. 69

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 70

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В График плотности равномерного распределения 71

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Функция (закон) равномерного распределения выглядит так: 72

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В График функции равномерного распределения: 73

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Числовые точечные характеристики равномерного распределения: Математическое ожидание 74

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Н. С. В. Дисперсия: Среднее квадратическое отклонение: Мода (Мо) - равна значению НСВ с самой большой вероятностью. 75

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Особое место занимает равномерное распределение в интервале (0, 1). С его помощью моделируют (т. е. вычисляют) нужное количество значений НСВ, если сам закон распределения неизвестен (он может быть никаким не равномерным, а иным), а даны только некоторые значения и их вероятности. 76

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 1. 2. Экспоненциальный (показательный) закон распределения - Экспоненциальным называют такое распределение, при котором плотность вероятности вычисляется по формуле 77

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Сам закон распределения выглядит так: 78

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Точечные характеристики показательного распределения вычисляются по формулам: Математическое ожидание Дисперсия: С/к отклонение и мода 79

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 80

ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 81

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Нормальным называется закон распределения НСВ, плотность вероятности в котором вычисляется по формуле 82

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Так как в формуле плотности присутствует экспонента (exp), очевидно, что закон является разновидностью показательного (экспоненциального) закона. - 83

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Параметры являются константами, они заданы и обозначают: математическое ожидание - дисперсию, тогда среднее квадратическое отклонение равно параметру Мода равна параметру 84

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 85

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Или 86

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 87

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. Интеграл (27) ни таблично, ни аналитически не берется. Его рассчитали приближенно с шагом 0, 001 в пределах от 0 до 4, 999 и свели значения в таблицы. Считается, что если x>=5, то интеграл Лапласа равен 0, 5. Функция Ф(x) является нечётной, т. е. - 88

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Н. С. В. 89

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ С. В. 90

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам – М. : Айрис-Пресс, 2008. – 288 с. Дополнительная 1. В. Е. Гмyрман. Теория вероятностей и математическая статистика, изд. 9, – М. : Высш. шк. – 2003. – 479 с. 91