ЛЕКЦИЯ 1. Основания математики ЛИТЕРАТУРА Турецкий, В.

ЛЕКЦИЯ 1. Основания математики

ЛИТЕРАТУРА Турецкий, В. Я. Математика и информатика [Текст] : [учеб. пособие для вузов по гуманитар. направлениям и спец. ] / В. Я. Турецкий ; М-во образования Рос. Федерации, Урал. гос. ун-т. - 3 -е изд. , перераб. и доп. - Москва : ИНФРА-М, 2000. - 557, [1] с. : ил. Александрова, Н. В. Методические указания к выполнению работ по курсу "Математика и информатика" для студентов гуманитарных специальностей [Текст] / ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федеральное агентство по образованию, Нижнетагил. гос. соц. -пед. акад. , Каф. информ. и метод. обучения информ. - Нижний Тагил : НТГСПА, 2008 Стойлова, Л. П. Математика [Текст] : [учеб. пособие для сред. пед. учеб. заведений] / Л. П. Стойлова. - 3 -е изд. , испр. - Москва : Академия, 1998. - 453, [1] с. : ил.

ЛИТЕРАТУРА Курс высшей математики. Теория вероятностей [Текст] : Лекции и практикум : учебное пособие для вузов / под общ. ред. И. М. Петрушко [и др. ]. - Изд. 3 -е, стер. - Санкт-Петербург ; Москва ; Краснодар : Лань, 2008. - 346 с. - (Учебники для вузов. Специальная литература). - Загл. корешка : Курс высшей математики. - Библиогр. : с. 342. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей [Текст] : [учеб. пособие для втузов] / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - Изд. 2 -е, стер. - Москва : Наука, 1973. - 363, [3] с. : ил. Вентцель, Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей [Текст] : [учеб. пособие для втузов] / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. - Изд. 4 -е, перераб. и доп. - Москва : Высшая школа, 2002. - 446, [2] с. : ил. Зубков, А. М. Сборник задач по теории вероятностей [Текст] : учебное пособие для вузов / А. М. Зубков, Б. А. Севастьянов, В. П. Чистяков. - 2 -е изд. , испр. и доп. - Москва : Недра, 1989. – 317. Комбинаторика и логика [Текст] / Сост. А. А. Егоров. - Москва : Бюро Квантум, 2003. - 128 с.

ЛИТЕРАТУРА Виленкин, Н. Я. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики [Текст] : учебное посбие для студентов- заочников IV курса физ. -мат. факультетов пед. институтов / Н. Я. Виленкин, В. Г. Потапов ; МГЗПИ. - Москва : Просвещение, 1979. Вероятность и математическая статистика [Текст]. - Москва : Дрофа : Большая Российская энциклопедия, 2003. - 910 с. : ил. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] : [учеб. пособие для втузов] / В. Е. Гмурман. - Изд. 5 -е, перераб. и доп. - Москва : Высшая школа, 1977. - 478, [1] с. : ил. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистика [Текст] : [учеб. пособие для вузов] / В. Е. Гмурман. - 11 -е изд. , перераб. - Москва : Высшее образование, 2008. - 403, [1] с. : ил.

ЛИТЕРАТУРА Могилев А. В. Информатика : [Учеб. пособие для пед. вузов по спец. "Информатика"]/ А. В. Могилев, Н. И. Пак, Е. К. Хеннер; Под ред. Е. К. Хеннера. -2 - е изд. , стер. . -М. : Академия, 2003. -809, [1] с. : ил. Стариченко Б. Е. Теоретические основы информатики : Учеб. пособие по спец. 030100 "Информатика"/ Б. Е. Стариченко. -2 -е изд. , перераб. и доп. . -М. : Горячая линия-Телеком, 2003. -310, [1] с. : схемы Степанов А. Н. Информатика : [учебное пособие для студентов вузов, обучающихся по гуманитарным и социально-экономическим направлениям и специальностям]/ А. Н. Степанов. - 5 -е изд. . -СПб. : Питер, 2007. -764 с. : ил.

ПЛАН Элементы теории множеств Операции с множествами Элементы математической логики

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ Множеством называют произвольный набор различимых между собой элементов Основные аксиомы теории множеств. 1. Всякое множество полностью определяется набором входящих в него элементов, то есть два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. 2. Если A – некоторое множество, и P – некоторое свойство, то из A можно выделить множество тех элементов, которые обладают свойством P.

ОБОЗНАЧЕНИЯ Наименование Обозначение Множество A, B, C, … Элемент множеств a, b, c, …, x, y, z Пустое множество (множество, не ∅ содержащее ни одного элемента) x принадлежит A x∈A Множество A является A⊂B подмножеством множества B Для любого (для всякого) ∀ Существует (найдется) ∃ Следует или «если … то …» ⇒ тогда и только тогда» ⇔

ОБОЗНАЧЕНИЯ Основные аксиомы теории Формула множеств 1. Всякое множество полностью определяется набором входящих в него элементов, то есть два множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. 2. Если A – некоторое множество, и P – некоторое свойство, то из A можно выделить множество тех элементов, которые обладают свойством P.

ОПЕРАЦИИ С МНОЖЕСТВАМИ Объединением множеств A и B называют множество элементов, входящих хотя бы в одно из них, и обозначают A ∪ B. Таким образом: Выражение {x|P} читается: «множество тех x, которые удовлетворяют условию P» .

ОПЕРАЦИИ С МНОЖЕСТВАМИ Пересечением множеств A и B называют множество элементов, входящих сразу и в A, и в B. Таким образом:

ОПЕРАЦИИ С МНОЖЕСТВАМИ Разностью множеств A и B называется множество элементов, входящих в A и не входящих в B. Обозначение – A B. Таким образом:

ОПЕРАЦИИ С МНОЖЕСТВАМИ Если B ⊂ A , то разность A B называют дополнением A до B. Множество элементов, не входящих в множество A , обозначают . Таким образом: Пример. Пусть универсальное множество Е состоит из букв русского алфавита, А - множество гласных букв, тогда - множество согласных букв и букв ь и ъ.

ПРИМЕР Рассмотрим множество всех студентов. Пусть A – множество студентов, учащихся на юридических факультетах. B – множество студентов, изучающих английский язык. Тогда: 1) A ∪B – это множество студентов, которые либо учатся на юридическом факультете, либо изучают английский язык (возможно то и другое вместе); 2) A ∩ B – множество студентов-юристов, изучающих английский язык; 3) A B – множество студентов-юристов, которые не изучают английский; 4) – множество всех студентов-неюристов.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Определение. Высказыванием называется произвольное утвердительное предложение, которое либо истинно, либо ложно, но не то и другое вместе. «ИСТИНА» или «ЛОЖЬ» , приписанная конкретному высказыванию, называется его истинностным значением. Примеры высказываний: «Снег белый» (но не «Белый снег» ) «Идет дождь» «Иванов – доктор наук» . Подобные простейшие высказывания называют атомарными формулами или атомами и обозначают прописными латинскими буквами.

СОСТАВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ЛОГИЧЕСКИЕ СВЯЗКИ Примеры составных высказываний: «Идет снег и светит солнце» «Тает снег, следовательно, бегут ручьи» «Если сыро и жарко, то душно» . Логическая сваяка Обозначение не ¬ и ∧ или ∨ Следует ( «если … то» ) ⇒ тогда и только тогда ⇔

ПРИМЕР СОСТАВНОГО ВЫСКАЗЫВАНИЯ A – «Лечение от рака найдено» , B – «Определены причины рака» , C – «Найдены новые лекарства» , «Лечение от рака не будет найдено, пока не определены его причины и не найдены новые лекарства»

ФОРМУЛЫ Определение. Формулы определяются следующим образом: 1. Атом есть формула. 2. Если A – формула, то A¬ – формула. 3. Если A и B – формулы, то (A ∧B) , (A∨B , (A ⇒B), (A⇔B)– формулы. 4. Никаких формул, кроме порожденных применением указанных выше правил, не существует. Из определения следует, что такие выражения, как (A ⇒) , (B∧) и им подобные, не являются формулами.

ФОРМУЛЫ Пусть A и B – формулы. В таблице 1 перечислены соотношения между истинностными значениями формул A¬ , (A∧B), (A∨B), (A⇒B), (A⇔B) и формул A и B.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ Пусть G – формула. Таблицу, в которой указаны все истинностные значения формулы G при всевозможных истинностных значениях атомов, входящих в G , называют таблицей истинности формулы G. Пусть G – формула, 1 A , 2 A , …, n. A – входящие в нее атомы. Приписывание истинностных значений атомам 1 A , 2 A , …, n. A , при котором каждому из них приписано либо ИСТИНА, либо ЛОЖЬ (но не оба вместе), называется интерпретацией формулы G. Говорят, что формула истинна при данной интерпретации, если она принимает значение ИСТИНА в этой интерпретации, в противном случае говорят, что G ложна при этой интерпретации.

ПРИМЕР 2 Построим таблицу истинности для формулы Из таблицы видим, что данная формула является истинной в 1, 4, 6, 7 и 8 -й интерпретациях.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ Говорят, что формула общезначима, если она принимает значение ИСТИНА в любой интерпретации, то есть при любых значениях входящих в нее атомов. Если формула ложна в каждой интерпретации, то говорят, что она противоречивая, или невыполнимая. Формула B является логическим следствием формул , если формула общезначима. Формулы A и B называются эквивалентными, если A истинна тогда и только тогда, когда истинна В. Если A эквивалентна B , то будем писать A~B.

ПРИМЕР 3 Покажем, что формулы (P ⇒Q) и (¬P∨Q) эквивалентны. Для этого составим таблицы истинности обеих формул: P Q P ⇒Q (¬P∨Q) ИСТИНА ЛОЖЬ ИСТИНА ЛОЖЬ Из таблицы видим, что (P ⇒Q) истинна тогда и только тогда, когда истинна (¬P∨Q)

ЛЕКЦИЯ 2 ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ПЛАН 1. Случайные события 2. Элементы комбинаторики 3. Основные теоремы теории вероятностей 4. Дискретные случайные величины 5. Математическое ожидание дискретной случайной величины 6. Ожидаемое среднее значение функции случайной величины 7. Дисперсия дискретной случайной величины

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Материалом для установления начальных понятий теории вероятностей являются случайные исходы – результаты некоторого опыта, испытания. Все обусловленные, взаимоисключающие результаты опыта будем называть элементарными исходами, а множество всех элементарных исходов – пространством элементарных исходов (ПЭИ). Пример 1. Опыт – один раз подбрасывается монета. ПЭИ состоит из двух исходов – Орел, Решка. Пример 2. Бросаем игральную кость. ПЭИ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Пример 3. Монета подбрасывается трижды. ПЭИ = {OOO, OOP, OPO, POO, OPP, POP, PPO, PPP}.

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Событием называется произвольное подмножество ПЭИ. Обозначения: Наименование Обозначение Пространство элементарных Ω исходов (ПЭИ) События А, В, С… Элементарные исходы ω Пример. Монета подбрасывается два раза. Элементарные исходы: Пусть А обозначает событие, состоящее в том, что выпал ровно один орел, тогда

СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ Если событие совпадает со всем ПЭИ, то оно называется достоверным. Если событие не содержит ни одного элементарного исхода, то оно называется невозможным. Пусть А – событие. Событие, состоящее из элементарных исходов, не входящих в А, называется противоположным к А и обозначается.

ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ Вероятность события – мера возможности его появления в данном опыте. Пусть – ПЭИ модели, описывающей некоторый опыт. Вероятность события введем, постулируя следующие три правила. 1. Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность невозможного события равна 0. 2. Каждому элементарному исходу приписано неотрицательное число p (ωi) так, что 3. Вероятность события есть сумма вероятностей входящих в него элементарных исходов. Вероятность события А будем обозначать p(A). а) для любого события А верно неравенство б) для взаимно противоположных событий A и имеет место равенство

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ Вероятность события A есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу элементарных исходов. Пусть Ω состоит из n элементарных исходов, которые по тем или иным причинам предполагаются равновозможными. Тогда вероятность каждого элементарного исхода равна Если событие А состоит из k элементарных исходов, то

ПРИМЕР Вычислим вероятность того, что при бросании двух игральных костей сумма выпавших очков делится на 4. ПЭИ данного опыта состоит из 36 равновозможных пар чисел. Событие А – сумма выпавших чисел делится на 4. В качестве пространства элементарных исходов данного опыта естественно взять множество пар чисел: Благоприятными для события А являются {(1, 3); (2, 2); (2, 6); (3, 1); (3, 5); (4, 4); (5, 3); (6, 2); (6, 6)} следовательно, вероятность этого события равна p(А)=9/36=1/4.

СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ 1. Исходя из условия задачи, построить ПЭИ, полностью определяющее задуманное событие. 2. На основе правдоподобных рассуждений приписать вероятность каждому элементарному исходу. 3. Установить, какие элементарные исходы образуют событие A. 4. Вычислить вероятность события A, сложив вероятности элементарных исходов, благоприятных для A. Если элементарные исходы равновероятны, то где k – число благоприятных для A исходов, n – общее число исходов.

ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

ПЕРЕСТАНОВКИ Пусть имеется упорядоченный набор из n элементов. Изменение порядка в этом наборе называют перестановкой. Количество различных перестановок обозначают Pn. Пример. Перестановки множества из 3 -х элементов имеют вид:

ПЕРЕСТАНОВКИ Утверждение. Задача 1. Сколькими способами можно разместить на плате 4 элемента? (P 4=4!=1*2*3*4=24) Задача 2. Сколькими способами можно выстроить в линейку 10 человек (5 девушек и 5 юношей) с условием, чтобы девушки и юноши чередовались? 5 девушек можно разместить 5! способами, а 5 юношей аналогично 5!. Следовательно, всего способов^ (5!)*(5!)=(5!)2=(120)2=14400.

РАЗМЕЩЕНИЯ Пусть все также имеется n элементов. Из них нужно выбрать k элементов, причем расположить их в заданном порядке. В этом случае говорят, что нужно осуществить размещение из n элементов по k. Число таких различных размещений обозначают Утверждение. Пример. Пусть дано множество из четырех элементов . Какие различные размещения по два элемента можно составить и сколько их, т. е. ? = 4!/3!=(1*2*3*4)/(1*2*3)=3*4=12.

СОЧЕТАНИЯ Если порядок выбранных k элементов не важен, то говорят, что осуществлено сочетание (комбинация) из n элементов по k. Число сочетаний обозначают: Утверждение.

ПРИМЕРЫ Пример 1. В отделении 10 солдат. Необходимо составить наряд из 4 -х человек. Сколько существует способов составления такого наряда? Решение. Поскольку порядок, в котором мы выбираем участников наряда, не важен, то мы имеем дело с сочетаниями их 10 по 4. Итак, Пример 2. Сколько существует четырехзначных чисел, состоящих из различных цифр? Решение. Ноль не может быть первой цифрой, следовательно, есть 9 возможностей выбрать первую цифру. Далее может следовать любая упорядоченная тройка оставшихся цифр, а для этого есть способов. Итого, получаем

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ Суммой событий А и В (А+В) называется их объединение как подмножеств пространства элементарных исходов. Сумма событий А и В – это событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из двух: А или В, возможно два сразу. Аналогично определяется сумма большего числа событий. Два события называются несовместными, если они (как подмножества пространства элементарных исходов) не имеют общих элементарных исходов. Два события несовместны, если они не могут происходить одновременно. Произведением событий А и В (АВ) называется их пересечение как подмножеств пространства элементарных исходов. Произведение событий А и В – это событие, состоящее в том, что произошли два события сразу: и А, и В.

ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых. Коротко 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности их произведения.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ Два события называют независимыми, если появление одного не влияет на вероятность появления второго. Условной вероятностью события А относительно события В называется вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло. Условную вероятность события А относительно события В обозначают p(A/B).

ТЕОРЕМА УМНОЖЕНИЯ Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного на условную вероятность второго относительно первого, то есть Если события А и В независимые, то p(B/A)=p(B) и, следовательно, в этом случае

ПРИМЕР Автобусный билет называют «счастливым» , если сумма первых трех цифр равна сумме последних трех. Вероятность получить такой билет равна 0, 05525. Найти вероятность того, что из двух взятых билетов будет хотя бы один «счастливый» , если, а) они имеют последовательные номера; б) они куплены независимо друг от друга. Решение. Пусть A – первый билет «счастливый» ; B – второй билет «счастливый» . Тогда событие «из двух взятых билетов будет хотя бы один «счастливый» есть A+B. В случае а) события А и В несовместны, следовательно, p(A+B) = P(A)+P(B)=0, 05525 + 0, 05525 = 0, 1105. В случае же б) не исключено, что оба билета окажутся «счастливыми» , то есть события совместны, а потому p(A+B) = P(A)+P(B) – p(AB) = 0, 05525+0, 05525 - 0, 05525*0, 05525 = 0, 1075. Здесь мы учли, что события А и В независимы, и, следовательно P(AB)=p(A)*p(B) = 0, 05525 · 0, 05525 = 0, 00305.

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ Допустим, событие A может произойти вместе с одним из несовместных событий , образующих полную группу событий, т. е. Тогда причем слагаемые этой суммы являются несовместными событиями. Следовательно, Формула полной вероятности:

ПРИМЕР Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0, 75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероятность равна 0, 30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в будущем году равна 0, 80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году? Решение. Событие А – «акции компании поднимутся в цене в будущем году» . Составим рабочую таблицу (см. табл. 1).

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Случайная величина – это величина, которая в результате эксперимента (опыта, испытания) принимает одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какое именно. Примеры случайных величин: число дефектных деталей в партии при контроле качества; процент завершенного строительства жилого дома спустя 6 месяцев; Обозначения Случайная величина X Y Z Значение случайной x 1 , x 2 , x 3 … x n величины

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ случайные величины могут быть Дискретными – это случайные величины, которые принимают конечное или бесконечное (но счетное) число отдельных, изолированных возможных значений с определенными вероятностями (число студентов на лекции) Непрерывными– это случайные величины, значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток (скорость самолета при выходе на заданную высоту)

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Простая вероятность наступления определенного события p(Х) выражается частным от деления числа благоприятствующих наступлению события случаев k на число всех возможных событий: p(xi)=k/n При этом предполагается, что все возможные случаи равновозможные, т. е. что нет оснований для заключения, что событие скорее сотоится в одном смысле, чем в другом. Если случайные события не равновозможные, то их следует разбить на группы.

ПРИМЕР. В урне находятся 2 белых и 8 черных шаров, то вероятность вытянуть белый шар определяется числом: Вероятность вытянуть черный шар: При этом предполагается, что возможность быть вытянутым для каждого шара одинакова, т. е. что все шары одинаковой величины и сделаны из одного и того же материала. Математическая вероятность всегда выражается ПРОАВИЛЬНОЙ дробью. Вероятность, равная нулю, соответствует НЕВОЗМОЖНОСТИ наступления события. Вероятность , равная единице, соответствует ДОСТОВЕРНОСТИ наступления события. Таким образом вероятность p(X) наступления некоторого события Х всегда

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Закон распределения дискретной случайной величины - соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется. Простейшей формой закона распределения для дискретных случайных величин является ряд распределений.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, в которой перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины x 1, x 2, x 3, …, xn c соответствующими им вероятностями p 1, p 2, …, pn.

РЯД РАСПРЕДЕЛЕНИЙ Так как события (X=x 1), (X=x 2), (X=x 3), …, (X=xn) составляют полную группу событий, то сумма вероятностей p 1, p 2, …, pn равна единице: Ряд распределения случайной дискретной величины должен удовлетворять следующим условиям:

ПРИМЕР Каждый день местная газета получает заказы на новые рекламные объявления (от одного до пяти), которые будут напечатаны на следующий день. Число рекламных объявлений в газете зависит от многих факторов: дня недели, сезона, общего состояния экономики, активности местного бизнеса и т. д. Пусть X – число новых рекламных объявлений, напечатанных в местной газете в определенный день. X – случайная величина, которая может быть только целым числом. В нашем примере случайная величина X принимает значения 0; 1; 2; 3; 4; 5 с вероятностями 0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 2; 0, 1 соответственно. Поскольку появления различных значений случайной величины X – несовместные события, то вероятность того, что в газету будут помещены или 2 или 3 рекламных объявления, равна сумме вероятностей P(2) + P(3)=0, 3+0, 2 = 0, 5.

ЗАДАЧИ Задана таблица распределения случайной величины. х 0 1 2 3 х 1 3 9 16 р С 0. 4 0. 2 0. 1 р 0. 1 0. 2 0. 3 С Тогда значение С в таблице равно А) 0. 3 А) 0. 3 Б) 0. 4 Б) 0. 2 В) 0. 5 В) 0. 5 Г) 0. 2 Г) 0. 4

ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Функцией распределения дискретной случайной величины называется функция F(x), определяющая для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X не превзойдет некоторого x, т. е. где суммирование распространяется на все значения индекса i, для которых xi ≤ x.

ПРИМЕР Для предыдущего примеры найти функцию распределения случайной величины X – числа рекламных объявлений. Решение. Случайная величина X не принимает значений, меньших 0. Следовательно, если x≤ 0, то событие X < x – невозможно, и, следовательно, вероятность его равна нулю. Поэтому функция распределения случайной величины X для всех значений x≤ 0 также равна 0. Для всех x, удовлетворяющих двойному неравенству 0

ГРАФИК ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Математическое ожидание случайной величины X равно сумме произведений значений случайной величины на соответствующие им вероятности и обозначается М(Х): Закон распределения случайной величины Х задан рядом распределения: хi 2 3 5 рi 0, 3 0. 1 0. 6 М(Х)=2*0, 3+3*0, 1+5*0, 6=3, 9

ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Дисперсия случайной величины это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Обозначается D(X). Формула: - математическое ожидание квадрата случайной величины M(X) – математическое ожидание случайной величины

ДИСПЕРСИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Закон распределения случайной величины Х задан рядом распределения. Найдем дисперсию. хi 2 3 5 рi 0, 3 0. 1 0. 6 M(X) хi*рi 0, 6 0, 3 3 3, 9 хi 2 4 9 25 хi 2*рi 0, 2 0, 9 15 17, 1 M(X 2) D(X)=17, 1 -(3, 9)2=1. 89

СРЕДНЕЕ КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ ОТ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Среднее квадратичное отклонение от случайной величины – это квадратный корень от дисперсии. Обозначение:

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ Генеральная совокупность – все множество имеющихся объектов. Выборка – набор объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объем генеральной совокупности N и объем выборки n – число объектов в рассматриваемой совокупности. Виды выборки: Повторная – каждый отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность; Бесповторная – отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.

ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ Пусть интересующая нас случайная величина Х принимает в выборке значение х1 n 1 раз, х2 –n 2 раз, …, хк – nк раз, причем где n – объем выборки. Тогда наблюдаемые значения случайной величины х1, х2, …, хк называют вариантами, а n 1, n 2, …, nк – частотами. Если разделить каждую частоту на объем выборки, то получим относительные частоты Последовательность вариант, записанных в порядке возрастания, называют вариационным рядом, а перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот – статистическим рядом. варианты частоты Относительные частоты

ПРИМЕР При проведении 2 серий из 10 бросков игральной кости число выпадений шести очков оказалось равным 1, 1, 4, 0, 1, 2, 2, 0, 5, 3, 3, 1, 0, 2, 2, 3, 4, 1. Составим вариационный ряд: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Объем выборки n=20 Статистический ряд для абсолютных и относи- тельных частот имеет вид:

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Выборочным средним называется среднее арифметическое значений случайной величины, принимаемых в выборке: где xi – варианты, ni – частоты Выборочной дисперсией называется а выборочным средним квадратическим отклонением называется

ПРИМЕР Найдем числовые характеристики выборки, заданной статистическим рядом

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СТАТИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Мода М 0 – варианта, имеющая наибольшую частоту в предыдущем примере М 0 = 5. Медиана mе – варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант. Если число вариант нечетно (n = 2 k + 1), то me = xk+1, а при четном n = 2 k В частности, в примере Для ранжированного ряда с нечетным числом индивидуальных величин (например, 1, 2, 3, 3, 6, 7, 9, 9, 10) медианой будет величина, которая расположена в центре ряда, т. е. пятая величина =6. Для ранжированного ряда с четным числом индивидуальных величин (например, 1, 5, 7, 10, 11, 14) медианой будет средняя арифметическая величина, которая рассчитывается из двух смежных величин: (7+10) : 2= 8, 5.