ЛЕКЦИЯ 1 Название курса ДИСКРЕТНАЯ продолжительность 06

ЛЕКЦИЯ 1 Название курса – ДИСКРЕТНАЯ продолжительность 06. 09. 2012 Г. МАТЕМАТИКА – 1 семестр, по окончанию – экзамен ЛЕКЦИИ – 1 в неделю, практическое занятие – 1 в неделю. Учебные группы – А-32, А-42 занятия ведет – доцент кафедры Вычислительной техники ЧЁРНЫЙ СЕРГЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА ТЕОРИЯ ГРАФОВ

МЕСТО КУРСА В ТЕОРИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ Курс базовый, входит в цикл общих математических и естественнонаучных дисциплин Развивает способность к творческому подходу в решении профессиональных задач; Учит умению ориентироваться в нестандартных условиях и ситуациях при решении профессиональных задач;

БАЗОВЫЕ ПОНЯТИЯ В ВТ Самое важное – ДИСКРЕТНОСТЬ!!! — во времени (генератор тактовой частоты) — в пространстве (разрядность информации) — в управлении (алгоритмизация, а последовательность команд) - во времени (тактовая частота) - в пространстве (разрядность)

ОСОБЕННОСТИ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В примитиве знания доказательств ничего не добавляет к знанию результата, важно знать «что» и «зачем» . В настоящее время в профессиональной деятельности все чаще главной задачей становится создание новых моделей. Поэтому математика уже нужна не как метод расчета, а как метод мышления!!!

МНОЖЕСТВА /1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ: МНОЖЕСТВОМ называется совокупность различных объектов, рассматриваемых как единое целое. Базовые понятия – МНОЖЕСТВО и ЭЛЕМЕНТ. Элементы – это любые объекты, образующие множества ОБОЗНАЧЕНИЯ: МНОЖЕСТВА – прописные буквы (A, B, C, D…) ЭЛЕМЕНТЫ – строчные буквы (a, b, c, d…)

МНОЖЕСТВА Задание множества /2 A={a, b, c}. Принадлежность множеству b A Непринадлежность множеству c A А В А подмножество В ( знак включения) А В, если А В, то А строгое подмножество В Мощность множества – количество элементов |A| Множества – конечные и бесконечные (примеры)

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВ: 1. ПЕРЕЧИСЛЕНИЕМ: A={a 1, a 2, a 3, …ai} либо A={ai}, где i I={1, 2, 3, …n} 2. ОПИСАНИЕМ (процедурой):

9 2. ЗАДАНИЕ ОПИСАНИЕМ (процедурой): Если – M={ai} – произвольное множество, a – P – некоторое свойство, то множество A={x M|P(x)}, т. е. множество А – это множество тех и только тех элементов х М, которые обладают свойством Р. ПРИМЕР: если A={x N|P(x)}, где N – натуральные числа, Р – свойство быть простым числом, то А={xi} – множество простых чисел.

10 Порождающая процедура описывает способ получения элементов множества. пример: 1. множество М 2 n = {1, 2, 4, 8, 16, …} - порождающая процедура следующая: шаг первый – 1 М 2 n. шаг следующий – Если m М 2 n , то 2 m М 2 n – метод называется индуктивным или рекурсивным правилом.

11 Язык множеств – универсальный язык математики, любое математическое утверждение можно сформулировать как утверждение о некотором соотношении между множествами. Но есть парадоксы – вполне законными методами можно получить множества, которые приведут к противоречиям. Пример парадокса теории множеств – множество всех множеств! – Как это понять? (теорема Кантора!)

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ 1. Объединение – символ . Пример C=A B – множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В. С=A B = {x|x A или x B}. Аналогично объединение произвольного количества множеств. Явная форма записи A B C D и т. д. Общая форма записи A объединение всех множеств А, nnnnnnnnnn. A S принадлежащих системе S. kkkkkk S= Ai - если все множества системы занумерованы индексами т i=1 (случай, когда S={A 1, A 2, A 3, …, Ak}) Задача: почему верно, что A (A B), но не верно A (A U B) ? ? ?

2. Пересечением множеств А и В (обозначается А В ) называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В! Тттnnnnnт nnnnnnn. C=A B={x|x A и x B } Аналогично определяется пересечение произвольной системы множеств. 3. Разность множеств А и В (обозначается АB) называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в B : A B ={x|x A и x B}. Разность всегда только двухместна и некоммутативна (А B B А).

4. Дополнением множества А (обозначается А) называется множество всех элементов, не принадлежащих А (но принадлежащих U): А= U А. Справедливо в том случае, если множество А является подмножеством некоторого «универсального» множества U. Операции объединения, пересечения и дополнения часто называют булевыми операциями над множествами. 5

5. Прямое произведение множеств А и В (обозначение Ах. В ) называется множество пар (a, b) таких, что a А, b В. Если А=В, то произведение обозначается А 2. Аналогично, прямое произведение n множеств Аi (A 1 х. A 2… х An) длины n при a 1 A 1, …, an An обозначается Аn.

ВЕКТОРЫ ВЕКТОР – это упорядоченный набор элементов (кортеж). Понятие ВЕКТОР как и понятие МНОЖЕСТВА строго математического определения не имеет. Элементы, образующие вектор, называются координатами или компонентами вектора. Число координат называется длиной или размерностью вектора. Отличие вектора от множества – координаты вектора могут совпадать.

Вектор записывается в круглых скобках (0, 5, 4, 5). Иногда скобки и даже запятые могут опускаться. Векторы длиной 2 часто называют упорядоченной парой (парами), длиной 3 – тройками, и т. д.

ПРИМЕРЫ 1. Множество Rx. R=R 2 - это множество пар вида (a, b), где a, b R, образуют двумерное пространство (плоскость). Пары (a, b) являются координатами точек этой плоскости. Координатное представление точек плоскости, предложенное французским математиком и философом Декартом, исторически первый пример прямого произведения. Поэтому оно называется декартовым!

2. A={a, b, c, d, e, f, g, h}, B={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A x B = {a 1, a 2, a 3, …h 7, h 8} – множество, обозначающее все 64 клетки шахматной доски.

3. А – конечное множество, элементы – символы (буквы, …) Такие множества называются АЛФАВИТАМИ! Элементы множества Аn называются словами длины n. Множество S всех слов в алфавите А – это множество S= Ai = A 1 A 2 A 3 A 4 …. i N

4. А – конечное множество, элементы – символы (цифры) Такие множества тоже называются АЛФАВИТАМИ! Элементы множества Аn называются числами длины n. Множество S всех слов в алфавите А – это множество чисел S= Ai = A 1 A 2 A 3 A 4 … i N

4. А – конечное множество, элементы – символы (цифры) Такие множества тоже называются АЛФАВИТАМИ! Элементы множества Аn называются числами длины n. Множество S всех слов в алфавите А – это множество чисел S= Ai = A 1 A 2 A 3 A 4 … i N