Скачать презентацию Лекция 1 Линейное программирование Графическое решение Скачать презентацию Лекция 1 Линейное программирование Графическое решение

МОР_02.ppt

  • Количество слайдов: 20

Лекция № 1 Линейное программирование Лекция № 1 Линейное программирование

Графическое решение задач линейного программирования Задача 2. Предприятие производит продукцию двух видов (А и Графическое решение задач линейного программирования Задача 2. Предприятие производит продукцию двух видов (А и Б), используя при изготовлении этой продукции ресурсы трех видов (пер вого, второго и третьего). Чтобы произвести одну единицу продукции А, нужно затратить по 1 единице первого и второго ресурсов и 2 единицы третьего ресурса. Для производства единицы продукции Б требуется 2 единицы первого ресурса и 1 единица второго ресурса. Запасы ресурсов у предприятия ограничены: на складах есть 90 единиц первого ресурса, 50 единиц второго и 80 единиц третьего ресурса. Рыночная цена продукции А составляет 800 руб. , а цена продукции Б равна 1000 руб. Сколько продукции вида А и продукции вида Б следует произвести, чтобы получить наибольшую выручку?

Графическое решение задач линейного программирования Пусть предприятие планирует произвести х1 единиц про дукции А Графическое решение задач линейного программирования Пусть предприятие планирует произвести х1 единиц про дукции А и х2 единиц продукции Б, тогда выручка предприятия Z будет, очевидно, равна Z = 800 х1 +1000 Х 2. Относительно величин х1 и х2 можно сказать следующее. Во первых, они должны быть неотрицательными — отрицательный план про изводства продукции не имеет экономического смысла. Во вторых, общие расходы ресурсов при производстве х1 единиц продукции А и х2 единиц продукции Б, не должны превысить запасы этих ресурсов.

Графическое решение задач линейного программирования Вычислим суммарный расход первого ресурса. На производство единицы продукции Графическое решение задач линейного программирования Вычислим суммарный расход первого ресурса. На производство единицы продукции А тратится 1 единица первого ресурса, всего про дукции А производится х1 единиц, значит, на производство всей продук ции. А будет затрачено 1· х1 = х1 единиц первого ресурса. Аналогично, на производство единицы продукции Б тратится 3 единицы первого ресурса, продукции Б производится х2 единиц, значит, на производство всей продукции Б будет затрачено Зх2 единиц первого ресурса. Суммарный расход первого ресурса на производство всей продукции (и А, и Б) соста витх1 + Зх2 единиц. А в запасе есть всего 90 единиц этого ресурса. Значит, должно выполняться ограничение: х1 + Зх2 ≤ 90.

Графическое решение задач линейного программирования Теперь вычислим суммарный расход второго ресурса. Как следует из Графическое решение задач линейного программирования Теперь вычислим суммарный расход второго ресурса. Как следует из условия задачи, на производство единицы продукции А и Б тратится по 1 единице второго ресурса, следовательно, суммарный расход этого ресурса на производство всей продукции соста витх1 + х2 единиц. Запас этого ресурса 50 единиц, значит, должно выполняться ограничение: х1 + х2 ≤ 50. Наконец, на производство единицы продукции А тратится 2 единицы третьего ресурса, который не используется в производстве продукции Б. Его запас равен 80, следовательно, в этом случае должно выполняться ограничение 2 х1 ≤ 80.

Графическое решение задач линейного программирования Требуется найти такой план производства (то есть числа х1 Графическое решение задач линейного программирования Требуется найти такой план производства (то есть числа х1 + х2 ), чтобы выполнение этого плана обеспечивало предприятию наибольшую выручку, т. е. Z = 800 х1 +1000 Х 2 → MAX при выполнении ограничений по ресурсам: и ограничений неотрицательности: х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Графическое решение задач линейного программирования Построим область точек на плоскости, где выполняются все пять Графическое решение задач линейного программирования Построим область точек на плоскости, где выполняются все пять ограничений. Уравнение х1+3 х2 = 90 определяет множество точек плос кости, лежащих на некоторой прямой. Чтобы эту прямую построить, до статочно вспомнить, что любая прямая полностью определяется любыми своими двумя различными точками. Подставим в данное уравнение х1 = 0, получим, что 0 + Зх2=90, откуда х2=30. Итак, первая точка: А(х1 = 0, х2 = 30). Если в это же уравнение подставить х2 = 0, то тогда х1 + 3 • 0 = 90, или просто х1 = 90. Получили вторую точку В(х1 = 90, х2 =0). Построим эту прямую и обозначим ее римской цифрой I.

Графическое решение задач линейного программирования Графическое решение задач линейного программирования

Графическое решение задач линейного программирования Данная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в Графическое решение задач линейного программирования Данная прямая разбивает всю плоскость на две полуплоскости, в одной из полуплоскостей выполняется неравенство х1 + Зх2 < 90, а в другой — нера венство х1 + Зх2 > 90. Проверим, какое из этих двух неравенств выполняется в полуплоскости, которая лежит ниже и левее только что построенной прямой. Подставим в неравенство х1 +3 х2 < 90 координаты точки 0 (х1 =0, х2 = 0): 0 + 3 • 0 < 90, — значит, и для всех остальных точек, которые лежат ниже и ле вее прямой х1 + Зх2 = 90, выполняется неравенство х1 + Зх2 < 90.

Графическое решение задач линейного программирования Аналогично найдем две точки, через которые проведем вторую прямую. Графическое решение задач линейного программирования Аналогично найдем две точки, через которые проведем вторую прямую. Для этого подставим х1 = 0, в уравнение х1 + х2 = 50. Тогда х2 = 50, если же х2 = 0, то х1 = 50. Следовательно, вторая прямая пройдет через точки: (х1 = 0, х2 = 50) и (х1 = 50, х2 = 0). Построим эту прямую и обозначим ее римской цифрой II. Третья прямая 2 х1 = 80, будет представлять собой вертикальную прямую, проходящую через точку с абсциссой х1 = 40. Проведем ее и обозначим римской цифрой III. В результате мы получили пятиугольник ОАВСD ограниченный осями координат и тремя построенными прямыми.

Графическое решение задач линейного программирования Пятиугольник ОАВСD Графическое решение задач линейного программирования Пятиугольник ОАВСD

Графическое решение задач линейного программирования План производства, соответствующий любой точке из заштрихованного пятиугольника, является Графическое решение задач линейного программирования План производства, соответствующий любой точке из заштрихованного пятиугольника, является допустимым, так как он будет обеспечен имеющимися ресурсами. Как видим, таких планов может быть достаточно много. Наша задача выбрать из них оптимальный, то есть приносящий наибольшую выручку при цене единицы продукции А равной 800 руб. , а продукции Б ─ 1000 руб. Если оптимальный план существует, то он обязательно будет лежать в одной из угловых точек построенного многоугольника ─ множества допустимых планов, то есть в одной из вершин ОАВСD. Координаты точек О, А, D мы знаем. Найдем координаты других вершин.

Графическое решение задач линейного программирования Точка В представляет пересечение прямых, которые заданы первым и Графическое решение задач линейного программирования Точка В представляет пересечение прямых, которые заданы первым и вторым неравенствами, то есть в данной точке Из уравнения х1 + х2 = 50, имеем х1 = 50 х2. Подставив это значение в первое уравнение, получаем 50 х2 + 3 х2 = 90, 2 х2 = 40, х2 = 20. Тогда х1 = 50 х2 = 50 – 20 = 30. Следовательно, координаты точки В (х1 = 30, х2 = 20).

Графическое решение задач линейного программирования Точка С представляет пересечение прямых, которые заданы вторым и Графическое решение задач линейного программирования Точка С представляет пересечение прямых, которые заданы вторым и третьим неравенствами, то есть в данной точке Из уравнения 2 х1 = 80, имеем х1 = 40. Подставив это значение в уравнение х1 + х2 = 50, получаем х2 = 10. Таким образом, координаты точки С (х1 = 40, х2 = 10). Итак, мы имеем координаты всех вершин многоугольника допустимых планов производства. Остается только вычислить величину выручки z в каждой из этих вершин и взять наибольшую.

Графическое решение задач линейного программирования Начнем с точки О. Ее координаты (х1 = 0, Графическое решение задач линейного программирования Начнем с точки О. Ее координаты (х1 = 0, х2 = 0), в этой точке выручка Z 0 = 800 х1 +1000 Х 2 = 800· 0+1000· 0 = 0; Далее: А (х1 = 0, х2 = 30), Z 0 = 800 х1 +1000 Х 2 = 800· 0+1000· 30 = 30 000; В (х1 = 30, х2 = 20), Z 0 = 800 х1 +1000 Х 2 = 800· 30+1000· 20 = 44 000; С (х1 = 40, х2 = 10), Z 0 = 800 х1 +1000 Х 2 = 800· 40+1000· 10 = 42 000; D (х1 = 40, х2 = 0), Z 0 = 800 х1 +1000 Х 2 = 800· 40+1000· 0 = 32 000. Таким образом, очевидно, наибольшую выручку

Пример № 3 Пример № 3

Решение задачи Решение задачи

Решение задачи Решение задачи

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ! СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!