Лекция 1 Дискретная математика ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Доцент Старожилова

Лекция 1 Дискретная математика ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Доцент Старожилова О. В. 1

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств Георг Кантор в конце 19 века создал современную теорию множеств Теория множеств — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Теория множеств лежит в основе большинства математических дисциплин;

Основатели теории множеств n Бернард Больцано — чешский математик, философ и теолог (1781 -1848) рассмотрел произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определил понятие взаимнооднозначного соответствия в работе «Парадоксы бесконечного» n В 1870 году немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством» . 3

n Бернард Больцано ( «Парадоксы бесконечного» , 1850) рассматривал произвольные (числовые) множества, и для их сравнения определил понятие взаимно-однозначного соответствия. Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен был оказываться тем или иным «множеством» В настоящее время наиболее распространённой аксиоматической теорией множеств является теория Цермело — Френкеля с аксиомой выбора. Вопрос о непротиворечивости этой теории (а тем более — о существовании модели для неё) остаётся нерешённым. 4

Создатель теории множеств Кантор - Георг Фердинанд Людвиг Филипп (1845 -1918) нем. математик n n Георг Кантор дал понятие множество: n Кантор доказал существование иерархии бесконечностей, каждая из которых «больше» предшествующей. n теория множеств фундамент теории меры и интеграла, топологии функционального анализа. Теории решёток. Реляционной модели данных Теория множеств — основной раздел дискретной математики 5

Наивная теория множеств Натуральное число, по Кантору, -множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом» — который, в свою очередь, сам представляет собой множество. Аксиоматическая теория множеств n множества «существуют» исключительно формальным образом, и их «свойства» могут существенно зависеть от выбора аксиоматики. n Множество не обладает внутренней структурой. 6

множество Множество четырехугольников Пространственные тела Натуральные числа Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления Двузначные четные числа элемент Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. . 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10, 12, 14, 16 … 96, 98

Обозначения некоторых числовых множеств: N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; I - множество иррациональных чисел; R – множество действительных чисел.

Основные числовые множества Q R Z N

Диаграмма Венна Показывает все пересечения букв греческого, русского и латинского алфавита 10

Основные понятия теории множеств n n n n n В основе лежат первичные понятия: множество быть элементом множества Среди производных понятий наиболее важны следующие: пустое множество; подмножество ; семейство множеств; пространство (Универсум); конституента. 11

Элементы теории множеств n В отличие от других объектов, изучаемых математикой, термин "множество" не имеет строгого определения. n Пример Следующие совокупности объектов являются множествами: n n множество деревьев в лесу, множество целых чисел, n множество корней уравнения sin x = 0. 5. Множество не обладает внутренней структурой. Всякое множество состоит из элементов. Множества обычно обозначаются заглавными латинскими буквами, например, A, B, C и т. д. а их элементы - малыми: а, в, с… 12

Определение множество в математическом смысле n n Множество - совокупность элементов, обладающих некоторым общим свойством. Множество– это совокупность однозначно определенных (математических) объектов (элементов множества). Для того чтобы некоторую совокупность элементов можно было назвать множеством, необходимо, чтобы выполнялись следующие условия: 1. Должно существовать правило, позволяющее определить, принадлежит ли указанный элемент данной совокупности. 2. Должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга. (Это означает, что множество не может содержать двух одинаковых элементов). 13

Отношения между множествами

Обозначения и понятия теории множеств Множество может состоять из a A A B a есть элемент A, принадлежит A a не принадлежит A элементов, которые сами являются множествами. Нужно различать элемент a и множество, состоящее из единственного элемента a. A есть подмножество B: (x A) (x B) пустое множество А = {a 1, a 2, a 3} – множество, состоящее из трех элементов; А = {a 1, a 2, …} – множество, состоящее из бесконечного числа элементов множество А = {1, 2} состоит из двух элементов 1, 2; множество {А} состоит из одного элемента А 15

Пример n Совокупность {1, 2, 3, 4, 5, 6} - множество и оно неотличимо от множества {1, 3, 5, 2, 4, 6}, поскольку порядок элементов не играет роли. n Совокупность {1, 2, 3, 1, 3, 5} множеством не будет, т. к. неразличимы элементы, стоящие в записи на третьем и пятом месте (элемент 3), так же, как и элементы на первом и четвёртом месте (элемент 1). 16

Основные определения теории множеств q n Определение Универсальное (единичное) множество U - множество, для которого любое данное множество является подмножеством или множество, в которое входят все, рассматриваемые множества Пример Если говорим о воробьях и синицах, то универсальным множеством будет множество птиц. Определение Пустое множество- множество, в котором нет ни одного элемента. Знаком будет обозначается пустое множество. q q Пример Множество корней уравнения sinx = 2 является пустым. Замечание А, где А – любое множество. Таким образом, всякое множество содержит в качестве своих подмножеств пустое множество и само себя. 17

Подмножество n Определение Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А , то говорят, что множество В является подмножеством множества А: Замечание по определению само множество А является своим подмножеством, т. е. А А. Замечание Если А В и В А, то А = В Замечание Любое множество является подмножеством своего универсума, поскольку содержит только элементы универсума Замечание Так, например, число 23 является элементом множества натуральных чисел , но не является его подмножеством, а множество, содержащее единственный элемент 23 (обозначают {23}), является подмножеством , но не его элементом. 18

n n Пример А={2, 6, 15} (множество А состоит из трёх элементов - целых чисел 2, 6, 15). B = {1, 2, …, n, …} – бесконечное множество Множества могут быть конечными и бесконечными. Пример Пусть А – множество четных чисел, В – множество целых чисел, С – множество нечетных чисел. Тогда А В, С В, А С, В А. Замечание Не надо смешивать отношение принадлежности ( ) и отношение включения ( ). Пример Пусть А = {2} , В = {{2}, {4}}. Тогда имеют место : 2 {2}; {2} {{2}, {4}}; 2 {{2}, {4}}. 19

n n Замечание Каждое множество является своим подмножеством (это самое "широкое" подмножество множества). Замечание Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое "узкое" подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. 20

n Определение Если элементами множества являются числа, то множество называется числовым множеством. n Определение Непустое множество А называется конечным, если можно указать фиксированное число n, что количество элементов множества А меньше n. n Определение Множество не являющееся ни пустым, ни конечным называется бесконечным. 21

Множество и его мощность • Множество состоит из элементов. • Множество может быть конечным или бесконечным. Определение Мощность конечного множества – число его элементов. . Обозначается |M|, card M - обозначения для мощности множества . • Множества можно сравнивать по «мощности» . Пример А= , то мощность =4 Мощность конечного множества -количество его элементов, Мощность любого конечного множества всегда меньше мощности бесконечного множества. . 22

Сравнение мощностей. Два множества называются равномощными, если существует взаимнооднозначное соответствие между элементами первого и второго множеств. |A| = |B| - множества A и B – равномощны. Определение: Конечные множества A и B равномощны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковое число элементов. Это число называется мощностью конечного множества. N - множество всех натуральных чисел и нуля E - множество всех четных неотрицательных чисел E N, |E| = |N|, соответствие: x N 2 x E Множество M бесконечно тогда и только тогда, когда оно равномощно своему собственному подмножеству: A M, |A| = |M|. Можно считать это определением бесконечности. Определение: Множество называется счетным, если оно равномощно множеству N. Определение: |A| < |B|, если |A| |B|, но существует C B такое, что |A| = |C|. . 23

Парадоксы теории множеств - рассуждения, демонстрирующие противоречивость наивной теории множеств Парадокс лжеца По преданию, Эпименид утверждал, что все критяне 9 жители острова Крит) лжецы. Верно ли это утверждение, если учесть, что сам Эпименид родом с острова Крит? Современная форма этого парадокса: «Некто говорит: ’’я лгу’’. Если он при этом лжет, то сказанное им есть ложь, и , следовательно он не лжет. Если же он не лжет, то сказанное им есть истина, и следовательно, он лжет. В любом случае оказывается, что он лжет и не лжет одновременно. » 24

Парадоксы «наивной» теории множеств. «Парадокс самопринадлежности» Назовем множество «правильным» , если оно не содержит самого себя в качестве элемента. Правильно ли множество всех правильных множеств? Пусть M = { X | X X } Тогда: M M; M M Пример Множество всех ложек - это не ложка, значит, множество не является своим же элементом. Множества, не содержащие себя в качестве элемента, назовем обычными Способы преодоления парадоксов. Ограничиться только «конструктивно порождаемыми» множествами. Ограничиться только подмножествами хорошо известных «универсальных» множеств. 25

«Парадокс брадобрея» Брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами. Бреет ли брадобрей себя самого? n n n Если да, то он будет относиться к тем, кто бреется сам, а тех, кто бреется сам, он не должен брить. Если нет, он будет принадлежать к тем, кто не бреется сам, и, значит, он должен будет брить себя. этот парикмахер бреет себя в том и только том случае, когда он не бреет себя. Это, разумеется, невозможно. Рассуждение опирается на допущение, что такой парикмахер существует. Противоречие означает, что это допущение ложно, и нет такого жителя деревни, который брил бы всех тех и только тех ее жителей, которые не бреются сами. Парадокса Рассела можно избежать, если, ограничить рассматриваемые множества. 26

Способы задания множеств Чтобы задать множество, нужно указать какие элементы ему принадлежат • Конечное множество можно задать перечислением его элементов. {5, 2, 3} – множество из трех элементов {} – пустое множество Не все множества можно задать списком –бесконечные множества, например, нельзя • Множество можно задать предикатом (характеристической функцией) {x | x - четно} – множество четных чисел {f | f : N N} – множество функций из N в N, где N – множество натуральных чисел • Конечное или счетное множество можно задать алгоритмом порождения. {f 1 = f 2 = 1; fn+2 = fn + fn+1} – множество чисел Фибоначчи 27

Задание множества характеристическим предикатом n - часто применяемая форма, означает указание свойств элементов множества. n Определение Характеристический предикат- условие, выраженное в форме логического утверждения, проверяющее принадлежит ли любой данный элемент множеству. n n Пример A = {x| x ≤ 4} - множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию x ≤ 4. Пример А={2; 4; 6; 8}, то элементами этого множества являются числа 2, 4, 6, 8, а их характеристическим свойством то, что они натуральные, однозначные и четные числа. В общем случае можно записать А={х |. . . }, где после вертикальной черты указывается свойство элементов данного множества. n A = {a a – простое число} – множество простых чисел; 28

Примеры задания множеств «Студенты Петров, Иванов, Сидоров могут сдавать экзамен» - множество задается списком «Студенты Петров, Иванов, Сидоров, успешно сдавшие зачеты, могут сдавать экзамен» - множество задается при помощи общего признака. § 29

Задание множества описанием § Описание, включает основной, характеристический признак множества. При задании множества описанием возможны трудности: а) два разных описания могут задавать одно и то же множество; б) неоднозначность, Пример множество всех деревьев на Земле. А включать ли в него уже спиленные деревья? § § Задание множества перечислением его элементов - наиболее простая форма задания множества 30

Задание множеств порождающей процедурой n n Определение Порождающая процедура – процедура, которая порождает объекты, являющиеся элементами определяемого множества. A = {x| x=функция} q Замечание Перечислением можно задать только конечные множества, а бесконечные задаются характеристическим предикатом или порождающей процедурой. 31

32

33

34

Основные определения Определение Если все элементы множества А являются элементами множества В и наоборот, т. е. множества А и В совпадают, то говорят, что А = В. n Определение Если каждый элемент множества является также и элементом другого множества , то говорят, что множество является подмножеством множества : Обозначается . n Замечание по определению само множество А является своим подмножеством, т. е. А А. Замечание Если А В и В А, то по ранее введенному определению А = В. Глава 1. Теория множеств. 35

Включение множеств n n n n 1. Вхождение или включение множеств. Говорят, что множество А входит в множество В (обозначение А В ) или множество В включает множество А, если из того, что некоторый элемент а A следует, что a В Пример. Пусть А, В, С - подмножества N: А={1, 2, 6, 18}; В={6, 1, 18}; С={2, 18, 6, 1} В этом случае А = С; C A и A C, B A. Пример Свойства включения 1. - рефлексивность 2. если , то транзитивность. 3. если , то - антисимметрия. Замечание Пустое множество – подмножество любого множества. 36

Основные определения теории множеств n Определение Булеан - множество всех подмножеств, включая как само это множество, так и пустое множество. n Пример А= n то Р(А)= v Теорема Если А состоит из элементов, то булеан множества Р(А) состоит из элементов Замечание Булеан конечного множества конечен. Замечание Добавление нового элемента удваивает число подмножеств. 37

Число элементов множества и число подмножеств данного множества n Обозначим n(А) число элементов в множестве А 38

Геометрическое моделирование множеств n n Для наглядного представления множеств используется диаграммы Венна (иногда их называют кругами Эйлера или диаграммами Эйлера – Венна). Геометрически множества обычно изображаются как некоторые подмножества точек плоскости, множества представляются в виде кругов, в которых заключены все элементы данного множества . n На рис. 1 изображено универсальное множество U n и два его подмножества - множества А и В, B A. n Определение Геометрическое изображение множества в виде кругов называются диаграммами Эйлера-Венна. 39

Эйлер Леонард L K k Леонард Эйлер — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

Пример 41

Сравнение бесконечных множеств Даны два множества n N={1, 2, 3, 4, …} и D={2, 4, 6, 8, …}. n В каком множестве больше элементов? n Ответ в этих множествах бесконечное число элементов, так что сосчитать Вы никак не могли”. 42

n Даны 2 отрезка: На каком отрезке больше точек? n И так же ответ “Конечно, на CD, ведь он длиннее”, n так же возразить “Неужели Вы сосчитали точки? ” Поэтому встает проблема сравнения двух множеств по числу элементов не считая их 43

n Определение Правило, которое каждому элементу множества А ставит в соответствие элемент множества В, причем так, что каждому элементу множества В оказывается поставленным в соответствие один и только один элемент множества А называется взаимно-однозначным соответствием между множествами А и В . Определение Если между множествами А и В можно установить взаимно-однозначное соответствие, то говорят, что эти множества эквивалентны по числу элементов (или: “имеют одинаковое число элементов”; или “имеют одинаковую мощность. 44

n n Рассмотрим множества N={1, 2, 3, 4, …} и D={2, 4, 6, 8, …}. В каком множестве больше элементов? между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие. N 1 2 3 4 … n … D 2 4 6 8 … 2 n … И поэтому, в этих множествах одинаковое число элементов Замечание Четных чисел столько же, сколько и всех натуральных! 45

Пример n Одинаковое ли количество точек на отрезке и в квадрате? n Георг Кантор доказал, что в квадрате столько же точек, сколько и в отрезке. точек в квадрате не больше, чем точек на отрезке, но и не меньше, поэтому мощности совпадают. 46

n n n В отношении двух отрезков вопрос также решается очень просто. Получим, что между точками отрезков АВ и CD установлено взаимнооднозначное соответствие. Таким образом, на этих двух отрезках одинаковое число точек В чем же была ошибка? Она была в том, что на бесконечные множества были перенесены свойства конечных множеств. 47

Теорема Кантора. Для каждого множества A можно рассмотреть множество всех его подмножеств булеан исходного множества и обозначается 2 A. Теорема: Если множество A – конечно, то мощность булеана равна |2 A| = 2|A|. Теорема (Г. Кантор): Если множество A – счетно, то мощность булеана больше мощности счетного множества |2 A| > |A|. Теорема (Г. Кантор): Для любого множества A мощность его булеана больше мощности самого множества: |2 A| > |A|. Определение Пусть А и В - два произвольных множества. тогда для любых двух множеств, верно, что: либо они равномощны, либо одно из них более мощно, чем другое 48

Операции над множествами n Над множествами, можно совершать различные операции, которые называют теоретикомножественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые. Приоритет выполнения операций дополнение, пересечение, объединение разности ( одинаковый приоритет). Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками 49

n n Объединение множеств - множество, содержащее в себе все элементы исходных множеств, обозначается иногда A + B. 50

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Свойства операции объединения Термин «коммутативность» ввёл в 1814 году французский математик Франсуа Жозеф Сервуа 52

n Пересечение множеств - множество, которому одновременно принадлежат элементы всех данных множеств. Гораздо реже используется обозначение AB 53

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Свойства операции пересечения 55

n Определение Если множества А и В не имеют общих элементов, их пересечение равно пустому множеству; в этом случае множества А и В называются непересекающимися 56

Разность множеств n Разность двух множеств — множество, в которое входят все элементы первого множества, не входящие во второе множество. 57

Свойства операции разность n разность некоммутативна Разность некоммутативна 58

Дополнение n Определение Дополнение множества А до универсального (U ) - множество, состоящее из элементов, не принадлежащих А и обозначается 59

Симметрическая разность n Симметрическая разность - множество, куда входят все те элементы первого множества, которые не входят во второе множество, а, также те элементы второго множества, которые не входят в первое множество. 60

Свойства симметрической разности 61

n Определение Множества А и В находятся в общем положении, если Пример 62

Основные тождества алгебры множеств 63

64

65