Лекция 1 1 Математические методы описания динамических систем

Лекция 1. 1 Математические методы описания динамических систем

Основы матричных исчислений Соотношение Примечание A, B произвольные матрицы согласованной размерности A, B, С произвольные матрицы согласованной размерности A квадратная матрица, собственные числа A A, B квадратные матрицы одинаковой размерности A квадратная матрица, собственные числа A A, B квадратные невырожденные матрицы одинаковой размерности P, R квадратные невырожденные матрицы размерности n и m, H m n матрица P, R квадратные невырожденные матрицы одинаковой размерности I n -мерная квадратная матрица, составленная из единиц; положительные величины A квадратная симметричная матрица, - n-мерный вектор A квадратная симметричная матрица, в частности, m-мерная вектор-функция, x, y n- и m- мерный векторы, H m n-матрица

Обыкновенные дифференциальные уравнения в форме Коши где - -мерный фазовый вектор; - Скалярная функция где - - мерный вектор входного воздействия, - мерная в общем случае нелинейная вектор-функция. называется линейной, если она удовлетворяет принципу суперпозиции, т. е. и произвольные коэффициенты. Векторному уравнению соответствует n скалярных уравнений Стационарное уравнение: Однородное уравнение: Линейным дифференциальным уравнением в котором - матрицы соответствующей размерности. Стационарное линейное дифференциальное уравнение

Общее решение дифференциального уравнения Решение дифференциального уравнения есть такая функция времени , , подстановка которой в исходное дифференциальное уравнение превращает его в тождество. Значение функции - начальное условие. Фундаментальная (переходная) матрица , при Общее решение дифференциального уравнения Для стационарного уравнения

Решение дифференциального уравнения. Примеры Пример № 1 Пример № 2 Матрицы и в этом случае определяются как Фундаментальную матрицу Общее решение