Лекционный курс по дисциплине Методы и средства прогнозирования

Лекционный курс по дисциплине: «Методы и средства прогнозирования сложных процессов» Лектор Гишкелюк Игорь Анатольевич

Рекомендуемая литература n n n Арженовский С. В. Методы социально-экономического прогнозирования: Учебное пособие. – М. : Издательско-торговая корпорация «Дашков и К 0» ; Ростов н/Д: Наука-Спектр, 2009 – 236 с. Охрименко А. Е. «Основы извлечения, обработки и передачи информации, часть 4 «Измерение параметров сигналов» . БГУИР, 1995. Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника: Теория и практика. Перевод на русский язык, Ю. А. Зуев, В. А. Точенов. 1992. Хайкин Саймон Нейронные сети: 2 -е изд. , испр. : пер. с англ. –М ООО «И. Д. Вильямс» , 2006. 1104 с. : ил. Ежов. А. А. , Шумский С. А. Нейрокомпьютинг и его применения в экономике и бизнесе (серия "Учебники экономико-аналитического института МИФИ" под ред. проф. В. В. Харитонова). М. : МИФИ, 1998. - 224 с. Розенберг Г. С. , Шитиков В. К. , Брусиловский П. М. Экологическое прогнозирование (Функциональные предикторы временных рядов). - Тольятти, 1994. - 182 с. International Sakharov Environmental University 2

Тема 1 Значение и содержание процесса прогнозирования n n n Роль прогнозирования в принятии управленческих решений Классификация социально-экономических прогнозов и методов прогнозирования Инструментарий прогнозирования Использование методов аппроксимации в прогнозировании Временные ряды и их предварительный анализ International Sakharov Environmental University 3

Роль прогнозирования в принятии управленческих решений Прогноз – научно обоснованное суждение о перспективах, возможных состояниях того или иного явления в будущем и (или) об альтернативных путях и сроках их осуществления Прогнозирование – процесс разработки прогнозов. Прогнозирование представляет собой описание предполагаемых направлений и параметров развития системы на основе анализа ее движущих сил, закономерностей, структуры и других факторов вероятного поведения в течение определенного периода, а также возможных последствий такого развития. International Sakharov Environmental University 4

Роль прогнозирования в принятии управленческих решений International Sakharov Environmental University 5

Роль прогнозирования в принятии управленческих решений Прогнозы позволяют: n n n наметить возможные социально-экономические цели развития общества; сформировать направления научно-технического развития; выявить объективно сложившиеся тенденции функционирования экономики и сферы услуг; обосновать альтернативы развития на перспективу; определить ресурсы, которыми будет располагать общество; выявить потребности в определенных видах продукции и т. п. International Sakharov Environmental University 6

Роль прогнозирования в принятии управленческих решений Основные функции прогнозирования: n n n выявление и анализ сложившихся закономерностей и тенденций развития; оценка действия этих тенденций в будущем и учет их положительных и отрицательных последствий; предвидение новых ситуаций, новых проблем, требующих своего решения; выявление возможных альтернатив развития в перспективе; накопление информации для всестороннего обоснования выбора направления в разработке оптимального решения, обеспечивающего активное воздействие на развитие экологии. International Sakharov Environmental University 7

Классификация социально-экономических прогнозов и методов прогнозирования По проблемно-целевому критерию различают два типа прогнозов: n n поисковый прогноз (исследовательский, изыскательский, трендовый, генетический и т. п. ) нормативный прогноз (программный, целевой) International Sakharov Environmental University 8

Классификация социально-экономических прогнозов и методов прогнозирования По критерию соотнесения с различными формами конкретизации управления: n n n целевой прогноз собственно желаемых состояний отвечает на вопрос: что именно желательно и почему плановый прогноз представляет собой по существу выработку поисковой и нормативной прогнозной информации для отбора наиболее целесообразных плановых нормативов программный прогноз возможных путей, мер и условий достижения предполагаемого состояния прогнозируемого явления отвечает на вопрос: что конкретно необходимо, чтобы достичь желаемого? Для ответа на этот вопрос важны и поисковые и нормативные и прогнозные разработки проектный прогноз организационный прогноз International Sakharov Environmental University 9

Классификация социально-экономических прогнозов и методов прогнозирования По периоду упреждения – промежутку времени, на который рассчитан прогноз – различаются: n n n оперативный, как правило, рассчитан на перспективу, на протяжении которой не ожидается существенных изменений объекта исследования – ни количественных, ни качественных краткосрочный – рассчитан на перспективу, на протяжении которой не ожидается существенных количественных изменений объекта исследования среднесрочный – охватывает перспективу между кратко- и долгосрочным прогнозами с преобладанием количественных изменений над качественными долгосрочный – рассчитан на перспективу, на протяжении которой ожидаются существенные не только количественные, но и существенные качественные изменения объекта исследования дальнесрочный (сверхдолгосрочный) – охватывает перспективу, в течение которой ожидаются столь значительные качественные изменения, что можно говорить лишь о самых общих перспективах развития исследуемого явления или процесса International Sakharov Environmental University 10

Классификация социально-экономических прогнозов и методов прогнозирования По объекту исследования различаются естествоведческие, обществоведческие и научно-технические n n n В естествоведческих прогнозах взаимосвязь между предсказанием и предуказанием незначительна, близка или практически равна нулю изза невозможности управления объектом. Поэтому здесь в принципе применимо только поисковое прогнозирование с ориентацией на возможно более точное безусловное предсказание будущего состояния явления. Типичный пример – метеорологический прогноз В обществоведческих прогнозах указанная взаимосвязь настолько значительна, что способна давать эффект самоосуществления или, напротив, саморазрушения прогнозов действиями людей на основе целей, планов, программ, проектов, решений (включая принятые с учетом сделанных прогнозов) Научно-технические прогнозы занимают промежуточное место между естествоведческими и обществоведческими прогнозами. Они, как правило, основываются на имеющемся опыте (нормативные разработки) и могут быть поисковыми International Sakharov Environmental University 11

Методы прогнозирования основаны на трех взаимосвязанных способах получения информации о будущем: n n n Во-первых, это экстраполяция в будущее наблюдаемых тенденций, закономерности развития которых в прошлом и настоящем достаточно хорошо известны (в предположении, что и на определенную перспективу эти тенденции сохранятся без существенных изменений). Во-вторых, это оценка возможного или желательного в будущем состояния того или иного явления (прежде всего экспертная оценка). В-третьих, это моделирование прогнозируемых явлений (понимая в данном случае под моделью всякое условное, упрощенное для удобства исследования, схематическое представление об объекте прогноза – упорядоченную совокупность показателей, сценарий возможного или желательного развития событий и т. д. вплоть до строго формализованных математических моделей). International Sakharov Environmental University 12

Методы прогнозирования Все методы прогнозирования представляют собой, по существу, различные комбинации элементов перечисленных выше способов получения информации о будущем. В соответствии с этим существуют три дополняющих друга способа разработки прогнозов: n Анкетирование (интервьюирование, опрос) – опрос населения, экспертов с целью упорядочить, объективизировать субъективные оценки прогнозного характера. Особенно большое значение имеют экспертные оценки. Опросы населения в практике прогнозирования применяются пока сравнительно редко International Sakharov Environmental University 13

Методы прогнозирования n n Экстраполирование – построение динамических рядов развития показателей прогнозируемого явления на протяжении периодов основания прогноза в прошлом и упреждения прогноза в будущем Моделирование – построение поисковых и нормативных моделей с учетом вероятного или желательного изменения прогнозируемого явления на период упреждения прогноза по имеющимся прямым или косвенным данным о масштабах и направлении изменений. Наиболее эффективная прогнозная модель – система уравнений. Однако имеют значение все возможные виды моделей в широком смысле этого термина: сценарии, имитации, графы, матрицы, подборки показателей, графические изображения и т. д. International Sakharov Environmental University 14

Инструментарий прогнозирования n n Прием прогнозирования – конкретная форма теоретического или практического подхода к разработке прогноза, одна или несколько математических или логических операций, направленных на получение конкретного результата в процессе разработки прогноза. Процедура – ряд приемов, обеспечивающих выполнение определенной совокупности операций. Метод – сложный прием, упорядоченная совокупность простых приемов, направленных на разработку прогноза в целом. Методика – упорядоченная совокупность приемов, процедур, операций, правил исследования на основе одного или чаще определенного сочетания нескольких методов. International Sakharov Environmental University 15

Инструментарий прогнозирования n n n Методология прогнозирования – область знания о методах, способах, системах прогнозирования. Способ прогнозирования – получение и обработка информации о будущем на основе однородных методов разработки прогноза. Система прогнозирования (прогнозирующая система) – упорядоченная совокупность методик, технических средств, предназначенная для прогнозирования сложных явлений или процессов. International Sakharov Environmental University 16

Инструментарий прогнозирования Общая логическая последовательность важнейших операций разработки прогноза сводится к следующим основным этапам: n n n Предпрогнозная ориентация (программа исследования). Уточнение задания на прогноз: характер, масштабы, объект, периоды основания и упреждения и т. д. Формулирование целей и задач, предмета, проблемы и рабочих гипотез, определение методов, структуры и организации исследования. Построение исходной (базовой) модели прогнозируемого объекта методами системного анализа. Для уточнения модели возможен опрос населения и экспертов. Сбор данных прогнозного фона (совокупность внешних по отношению к объекту прогнозирования условий (факторов), существенных для решения задачи прогноза) методами, о которых говорилось выше. International Sakharov Environmental University 17

Инструментарий прогнозирования n n n Построение динамических рядов показателей – основы, стержня будущих прогнозных моделей методами экстраполяции; возможно обобщение этого материала в виде прогнозных сценариев. Построение серии гипотетических (предварительных) поисковых моделей прогнозируемого объекта методами поискового анализа профильных и фоновых показателей с конкретизацией минимального, максимального и наиболее вероятного значений. Оценка достоверности и точности, а также обоснованности прогноза (его верификация) посредством уточнения гипотетических моделей обычно методами опроса экспертов. International Sakharov Environmental University 18

Инструментарий прогнозирования n n Выработка рекомендаций для вариантных решений в сфере управления на основе сопоставления поисковых и нормативных моделей. Для уточнения рекомендаций возможно проведение опросов населения и экспертов. Иногда при этом строятся серии поствероятностных прогнозных моделей-сценариев с учетом возможных последствий реализации выработанных рекомендаций для их дальнейшего уточнения. Экспертное обсуждение (экспертиза) прогноза и научных рекомендаций, их доработка с учетом выявленных несовершенств и сдача заказчику. International Sakharov Environmental University 19

Использование аппроксимации для прогнозирования Предположим необходимо спрогнозировать значение t для нового значения x International Sakharov Environmental University 20

Использование аппроксимации для прогнозирования Можно имеющиеся значения с аппроксимировать полиномом степени M Для нахождения коэффициентов аппроксимирующей функции можно воспользоваться методом наименьших квадратов International Sakharov Environmental University 21

Использование аппроксимации для прогнозирования Геометрический смысл функции ошибок представляет собой сумму квадратов расстояний от точек до аппроксимирующей кривой International Sakharov Environmental University 22

Использование аппроксимации для прогнозирования Результат аппроксимации полиномами различной степени. International Sakharov Environmental University 23

Использование аппроксимации для прогнозирования Значение коэффициентов аппроксимирующего полинома International Sakharov Environmental University 24

Использование аппроксимации для прогнозирования Для снижение ошибки необходимо иметь больше наблюдений International Sakharov Environmental University 25

Использование аппроксимации для прогнозирования С точки зрения теории вероятности: входной параметр x влияет на закон распределение выходной переменной t International Sakharov Environmental University 26

Использование аппроксимации для прогнозирования Тогда для оценки параметров распределения можно использовать метод максимального правдоподобия. Согласно этому методу функция правдоподобия будет иметь вид Если предположить, что имеет место нормальное распределение тогда логарифм функции правдоподобия будет иметь вид Коэффициенты полинома и функции распределения находятся путем максимизации функции правдоподобия International Sakharov Environmental University 27

Временные ряды: основные понятия Временной ряд – это совокупность последовательных измерений некоторой переменной, произведенных через одинаковые интервалы времени. Среднегодовые значения глобальной температуры Урожайность всех зерновых культур в СССР с 1945 по 1989 гг. Всякий временной ряд включает два обязательных элемента: уровни ряда – числовые значения того или иного статистического показателя и время, выраженное моментами или периодами (день, месяц, квартал, год и пр. ), к которым относятся уровни. International Sakharov Environmental University 28

Временные ряды: основные понятия Временные ряды могут быть непрерывными (время измеряется непрерывно) и дискретными (время фиксируется дискретно). Дискретные временные ряды можно получить: n n выборочным способом из непрерывных временных рядов через регулярные (равностоящие моменты наблюдения) или произвольные промежутки времени. Такие ряды называют моментными. накоплением значения переменной в течение некоторого периода времени. В этом случае ряды называют интервальными. Интервалы также могут быть равномерными (равностоящими) и неравномерными. International Sakharov Environmental University 29

Временные ряды: основные понятия Численность безработных, зарегистрированных в органах государственной службы занятости (на конец года) Год 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Тыс. чел. 7059 6288 6270 5951 6116 5542 Выпуск специалистов высшими учебными заведениями Год 2000 2001 2002 2003 2004 2005 Тыс. чел. 635, 1 720, 2 840, 4 976, 9 1076, 6 1151, 1 Важное аналитическое отличие моментных рядов от интервальных состоит в том, что сумма уровней интервального ряда дает вполне реальный показатель, сумма же уровней моментного ряда, хотя иногда и подсчитывается, но реального содержания, как правило, не имеет. International Sakharov Environmental University

Временные ряды: основные понятия Временные ряды бывают детерминированными и случайными: уровни первых получают на основе значений некоторой неслучайной функции; вторых — в результате реализации некоторой случайной величины (величин). Возможные значения случайного временного ряда в данный момент времени t описываются с помощью случайной величины yt и связанного с ней распределения вероятностей р(уt). Поскольку уровни временного ряда, как правило, взаимосвязаны, то для корректного его описания следует рассматривать совместную вероятность р(у1, . . . , уn). International Sakharov Environmental University 31

Временные ряды: основные понятия Случайный процесс называют стационарным процессом в узком смысле, если все его конечномерные распределения не меняются при сдвиге во времени: pt+h (у1, . . . , уn)= pt (у1, . . . , уn) для любого h Случайный процесс называют стационарным процессом в широком смысле, если при сдвиге не меняются его первый и второй моменты International Sakharov Environmental University 32

Основные характеристики временных рядов Среднее и дисперсия временного ряда рассчитываются по обычным формулам: International Sakharov Environmental University 33

Основные показатели динамики временных рядов Показателями характеристик интенсивности изменения во времени являются: n n абсолютный прирост темпы роста темпы прироста абсолютное значение одного процента прироста Для получения обобщающих показателей динамики ряда определяются средние величины. Система средних показателей динамики включает следующие виды: n n средний уровень ряда средний абсолютный прирост средний темп роста средний темп прироста International Sakharov Environmental University 34

Основные показатели динамики временных рядов Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности: Средний абсолютный прирост – обобщающий показатель скорости изменения уровней рядя во времени. По данным об абсолютных приростах за ряд лет рассчитывается средний абсолютный прирост по формуле средней арифметической: Средний коэффициент роста исчисляется с помощью средней геометрической простой или взвешенной International Sakharov Environmental University

Временные ряды: основные понятия Анализ временных рядов это статистический анализ данных, призванный решить следующие основные задачи: n Исследование структуры временного ряда, обычно выражающейся в закономерном изменении среднего уровня и в наличии периодических колебаний n Построение математической модели процесса, представленного временным рядом n Прогнозирование будущего развития процесса n Исследование причинно-следственных взаимодействий между процессами, проявляющихся в виде различных взаимных корреляций между временными рядами n Преобразование временного ряда средствами сглаживания и фильтрации Таким образом целью анализа временного ряда является достижение понимания причинных механизмов, обусловивших появление этого ряда. International Sakharov Environmental University 36

Временные ряды: основные понятия Для решения указанных выше задач предложено большое количество различных методов. Наиболее распространённые из них следующие: n n n Корреляционный анализ позволяет выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция) Спектральный анализ позволяет находить периодические и квазипериодические составляющие временного ряда Сглаживание и фильтрация предназначены для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний Модели авторегрессии и скользящего среднего оказываются полезными для описания и прогнозирования процессов, проявляющих однородные колебания вокруг среднего значения Прогнозирование позволяет на основе подобранной модели поведения временного ряда предсказывать его значение в будущем International Sakharov Environmental University 37

Временные ряды: основные понятия Как правило, при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы: n n n Графическое представление и описание поведения временного ряда Выявление и удаление закономерных составляющих временного ряда, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих Выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация) Построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка её адекватности Прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом Исследование взаимодействий между различными временными рядами International Sakharov Environmental University 38

Анализ временных рядов При анализе временного ряда видимую его изменчивость стараются разделить на закономерную (детерминированную) и случайную составляющие. n n Под закономерной (детерминированной) составляющей временного ряда x 1, …, xn понимают числовую последовательность d 1 , … , dn , элементы которой dt вычисляются по определённому правилу как функция времени t Случайная составляющая εt иррегулярна и хаотична. Для её описания необходимо использовать статистический подход International Sakharov Environmental University 39

Анализ временных рядов Например, при изучении данных о месячном производстве молока в России можно попытаться описать закономерную часть данного временного ряда в виде комбинации линейной функции и периодической функции. International Sakharov Environmental University 40

Анализ временных рядов В детерминированной компоненте временного ряда dt обычно выделяют три составляющих части: тренд trt, сезонную компоненту st и циклическую компоненту ct. В простейшем случае можно записать (аддитивная модель): Анализ временного ряда начинается с выделения этих компонент. International Sakharov Environmental University 41

Анализ временных рядов Трендом временного ряда trt называют плавно изменяющуюся, не циклическую компоненту, описывающую чистое влияние долговременных факторов, эффект которых сказывается постепенно. International Sakharov Environmental University 42

Анализ временных рядов Сезонная компонента st временного ряда описывает поведение, изменяющееся регулярно в течение заданного периода (года, месяца, недели, дня и т. п. ). Она состоит из последовательности почти повторяющихся циклов. International Sakharov Environmental University 43

Анализ временных рядов Циклическая компонента ct временного ряда описывает длительные периоды относительного подъёма и спада. Она состоит из циклов, которые меняются по амплитуде и протяжённости. International Sakharov Environmental University 44

Модели детерминированной компоненты. Простейшие модели тренда Линейная модель Полиномиальная Логарифмическая Логистическая International Sakharov Environmental University 45

Модели детерминированной компоненты. Полигармонические модели Простейший вариант модели временного ряда – это косинусоидальная модель полигармонической: Как правило во временном ряде можно выделить не одну, а несколько компонент с разными периодами. Поскольку любую гладкую периодическую функцию G(t) с периодом p можно представить в виде ряда Фурье: Тогда функцию, являющуюся суммой нескольких периодических функций с разными периодами, можно задать в виде International Sakharov Environmental University 46

Модели детерминированной компоненты. Полигармонические модели Таким образом, временной ряд, описываемый полигармонической моделью, можно представить в виде Пятьсот значений временного ряда, описываемого моделью Детерминированная компонента ряда International Sakharov Environmental University 47

Модели случайной компоненты Обычно временной ряд не удается полностью описать одной лишь детерминированной компонентой. Приходиться описывать и случайную (нерегулярную) компоненту, поведение которой нельзя точно предсказать заранее. Для ее описания используют теорию вероятности. При описании нерегулярной компоненты используют понятия случайного (стохастического) процесса. Под случайным процессом X(t) называют функцию от t, значения которой при каждом t является случайной величиной. International Sakharov Environmental University 48

Модели случайной компоненты Для задания случайного процесса X(t) в общем случае необходимо для каждого t задать функцию распределения величины X(t) для каждой пары t 1 и t 2 задать функцию распределения двумерной случайной величины (X(t 1), X(t 2)) и для любого конечного числа элементов t 1, t 2, …tn задать n-мерную функцию распределения величины (X(t 1), X(t 2), …, X(tn)) International Sakharov Environmental University 49

Модели случайной компоненты Можно выделить следующие широко используемые случайные процессы: Нормальные (гауссовские) случайные процессы – это случайные процессы все конечномерные распределения которых являются нормальными. Для полного описания нормальных случайных процессов достаточно указать его двумерные распределения, с помощью которых можно вычислить любые конечномерные распределения. Белый шум – это случайный процесс с нулевым средним состоящий из независимых случайных величин X(t) имеющих одинаковое распределение при всех t. Для анализа стационарных случайных процессов используют модели авторегрессии и скользящего среднего. Под стационарным случайным процессом понимают последовательность случайных величин вероятностные свойства которых не изменяются во времени. International Sakharov Environmental University 50

Выделение тренда На первом этапе анализа временных рядов необходимо выделить тренд и периодические компоненты. Для оценки и удаления трендов из временных рядов чаще всего используют метод наименьших квадратов. В соответствии с регрессионным анализом значения временного ряда xt рассматривают как отклик (зависимую переменную) а время t – как фактор, влияющий на отклик (независимую переменную). Здесь f – функция тренда, – параметры функции тренда, ε – независимые и одинаково распределенные случайные величины. Тогда в соответствии с методом наименьших квадратов функция тренда выбирается так, чтобы International Sakharov Environmental University 51

Выделение тренда Проиллюстрируем применение метода наименьших квадратов для анализа временного ряда, представляющего собой урожайность всех зерновых культур. Визуальное изучение графика данных позволяет предположить, что тренд этого ряда может быть задан в виде прямой линии С помощью метода наименьших квадратов можно вычислить Урожайность всех зерновых культур в СССР с 1945 по 1989 гг. International Sakharov Environmental University 52

Выделение тренда В результате получаем параметры линейного тренда b 0 = 5. 868 и b 1 = 0. 275 и график остатков. Линейный тренд урожайности International Sakharov Environmental University График остатков 53

Выделение тренда Наряду с методом наименьших квадратов для удаления тренда можно использовать и другие методы. Одним из них является метод перехода от исходного ряда к ряду разностей соседних значений ряда. Рассмотрим этот метод на примере временного ряда, содержащего простой линейный тренд Отсюда видно, что в отличие от ряда xt преобразованный ряд yt уже не содержит линейный тренд, однако структура случайной компоненты в нем уже другая. International Sakharov Environmental University 54

Выделение тренда График остатков, полученный после удаления линейного тренда методом наименьших квадратов График остатков, полученный после удаления линейного тренда с помощью разностного оператора International Sakharov Environmental University 55

Выделение сезонных эффектов Многие временные ряды содержат сезонные компоненты. Для их выделяния разработаны различные методы. Предположим, что анализируемый ряд описывается аддитивной моделью При этом , где p период сезонной компоненты, который предполагается известным. Если необходимо оценить сезонную компоненту по наблюдениям xt, то сначала из наблюдений удаляется тренд. Затем для каждого сезона рассматриваются разности: В качестве простейшей оценки сезонной компоненты можно взять простое среднее: International Sakharov Environmental University 56

Выделение сезонных эффектов Достаточна распространена ситуация когда сезонные колебания пропорциональны среднему значению процесса в рассматриваемый момент времени. Для описания подобных данных можно использовать одну из следующих моделей В этом случае оценкой сезонной компоненты будет служить величина: International Sakharov Environmental University 57

Выделение сезонных эффектов Сезонные компоненты из временного ряда, также можно удалить с использованием специальных разностных операторов, которые называются сезонными. Процедура перехода от ряда xt к ряду yt=xt-xt-p=∂pxt называется взятием первой сезонной разности, а оператор ∂p называется сезонным разностным оператором с периодом p. Также для устранения периодических сезонных эффектов можно использовать полигармоническую модель, параметры которой можно определить с помощью метода наименьших квадратов. International Sakharov Environmental University 58

Выделение сезонных эффектов Проиллюстрируем оценку сезонной компоненты на основе данных о производстве молока. Производстве молока в России с января 1992 г. по октябрь 1996 г. (тыс. тонн в месяц) International Sakharov Environmental University 59

Выделение сезонных эффектов Для описания тренда используем линейную модель Оценив методом наименьших квадратов параметры модели получим Поскольку в рассматриваемом случае величина сезонных колебаний пропорциональна среднему уровню производства для описания сезонных колебаний следует использовать мультипликативную модель. В этом случае для удаления тренда воспользуемся выражением International Sakharov Environmental University 60

Выделение сезонных эффектов В результате получим Значения отношения xt/trt для временного ряда с данными о производстве молока в России (в %) Для получения сезонной компоненты производства молока для каждого месяца необходимо провести усреднение данных по строкам таблицы International Sakharov Environmental University 61

Выделение сезонных эффектов В результате получим Сезонная компонента (сезонный индекс) производства молока в России (в %) Для удаления сезонной компоненты каждое значение исходного ряда следует разделить на соответствующий ему сезонный индекс и умножить полученный результат на 100%. International Sakharov Environmental University 62

Выделение сезонных эффектов В результате получим Сезонное выравнивание временного ряда с данными о производства молока в России International Sakharov Environmental University 63

Прогнозирование Проиллюстрируем, как с помощью рассмотренной методики, на основании данных за 1992 -1995 гг. , получить прогноз на 1996 г. Подобранная модель линейного тренда, на основании данных по четырем годам, будет иметь вид Полученные коэффициенты не сильно отличаются от коэффициентов, рассчитанных по всем данным: International Sakharov Environmental University 64

Прогнозирование Оценки сезонных индексов по данным 1992 -1995 гг. будут иметь вид Для получения сезонной компоненты усредним данные по строкам таблицы International Sakharov Environmental University 65

Прогнозирование В результате получим Сезонная компонента производства молока в России (в %) International Sakharov Environmental University 66

Прогнозирование Для осуществления прогноза временного ряда на 10 месяцев 1996 г. следует сначала рассчитать предварительный ежемесячный прогноз prt по подобранной модели тренда. А именно вычислить значения trt для следующих 10 -ти значений t. Прогноз производства молока в России на 1996 Для получения окончательно прогноза надо скорректировать предварительный прогноз с помощью полученных сезонных индексов (prt∙st)/100 International Sakharov Environmental University 67

Прогнозирование В результате получим Производство молока в России за 1995 -1996 гг. Прогноз на 1996 г. Производство молока в России за 1995 -1996 гг. и прогноз на 1996 г. International Sakharov Environmental University 68