Лекционно-практическое занятие по теме Аналитическая геометрия на плоскости

Лекционно-практическое занятие по теме Аналитическая геометрия на плоскости

Раздел «Аналитическая геометрия на плоскости» курса «Высшая математика» включает две основные темы: 1. 2. Прямая на плоскости Кривые 2 -го порядка

Прямая на плоскости Основные уравнения прямой на плоскости 1. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору n 2. Общее уравнение прямой - вектор нормали 3. Уравнение прямой « в отрезках»

Прямая на плоскости. Основные уравнения 4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданному вектору - каноническое уравнение - направляющий вектор 5. Параметрические уравнения 6. Уравнение прямой, проходящей через две и заданные точки

Прямая на плоскости. Основные уравнения 7. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом Угловой коэффициент - это тангенс угла наклона прямой. Угол отсчитывается от положительного направления оси OX 8. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Задачи на составление уравнений прямой , определение параметров уравнений 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку. Построить прямую. параллельно прямой Решение. Нам задано уравнение прямой общего вида -вектор нормали Сравнивая с заданным уравнением, получаем координаты вектора нормали Так как все параллельные прямые можно охарактеризовать одним вектором нормали, то можно составить уравнение параллельной прямой, проходящей через данную в условии точку. За основу берем уравнение Найдем угловой коэффициент -направляющий вектор

2. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно прямой Из канонического уравнения заданной прямой можно определить ее направляющий вектор Поскольку для всех параллельных прямых можно взять один и тот же направляющий вектор, то берем за основу каноническое уравнение и подставляем в него координаты точки и направляющего вектора Это уравнение можно преобразовать к уравнению общего вида и к уравнению с угловым коэффициентом угловой коэффициент - вектор нормали

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой. В данном случае прямая задана уравнением с известным угловым коэффициентом y=kx+b. K=3 Все параллельные прямые имеют один угловой коэффициент. Т. о. нам известна точка на прямой и угловой коэффициент. Берем уравнение Записав уравнение в виде , определим вектор нормали и направляющий вектор Для построения прямой используем таблицу x y 0 -17/3 17 0

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой Из рисунка видно, что вектор нормали известной прямой является направляющим для искомой прямой, поэтому используем каноническое уравнение Таким образом, получили общее уравнение прямой, из которого определяем вектор нормали Из канонического уравнения можно перейти к уравнению с угловым коэффициентом

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой Прямая задана параметрическими уравнениями, из которых найдем направляющий вектор Из рисунка видно, что направляющий вектор известной прямой является вектором нормали для искомой прямой, поэтому используем уравнение прямой с известной точкой и вектором нормали Получили общее уравнение прямой, из которого Записав уравнение в виде , найдем угловой коэффициент ,

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой Из уравнения заданной прямой можно взять угловой коэффициент Из условия перпендикулярности прямых можно найти угловой коэффициент перпендикулярной прямой Теперь берем уравнение прямой с угловым коэффициентом и подставляем координаты точки и значение углового коэффициента Или - общее уравнение ,

Взаимное расположение прямых на плоскости Задачи на взаимное расположение прямых включают слежующие вопросы: 1. Нахождение точки пересечения. 2. Нахождение угла между прямыми 3. Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых Для нахождения точки пересечения нужно решить систему, составленную из уравнений этих прямых, например Систему можно решить методом Крамера Точка пересечения

Нахождение угла между прямыми . 1 Если прямые заданы общими уравнениями, то угол между прямыми – это угол между векторами нормалей и используется формула косинуса угла между векторами 2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, то угол между прямыми – это угол между направляющими векторами 3. Если прямые заданы угловыми коэффициентами, то находят тангенс угла

Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых 1. Условия параллельности прямых 2. Условия перпендикулярности прямых Расстояние от точки до прямой Для нахождения расстояния от точки до прямой нужно координаты точки Подставить в левую часть уравнения прямой, разделить на длину вектора нормали и полученное значение взять по абсолютной величине. Уравнение прямой должно быть приведены к общему виду

1. Найти угол между прямыми и Из уравнения первой прямой определяем вектор нормали Из уравнения второй прямой находим направляющий вектор Тогда вектор нормали этой прямой Используем формулу 2. Найти расстояние от точки до прямой Приведем сначала уравнение прямой к общему виду или . Теперь можно использовать формулу

Кривые 2 -го порядка Общее уравнение прямой на плоскости – есть уравнение линейное относительно переменных и Уравнение кривой 2 -го порядка квадратичная часть линейная часть В дальнейшем будем рассматривать уравнения кривых, . в которых отсутствует произведение К кривым 2 -го порядка относятся : окружность, эллипс, гипербола и парабола. Основная задача состоит в умении по уравнению определить тип кривой, привести само уравнение к каноническому виду и построить кривую в системе координат.

1. Окружность Определение. Окружностью называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром Уравнение окружности с центром в начале координат Уравнение окружности со смещенным центром ! В уравнение окружности входят квадраты переменных, причем коэффициенты при квадратах и знаки при них одинаковые.

Построение окружностей 1. Построить окружность 3. Построить окружность 2. Построить окружность

Построить окружность Каноническое уравнение Формула квадрата суммы и разности двух чисел 1. 2. 3. 4. 5. 6. центр окружности, радиус окружности

2. Эллипс Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами , есть величина постоянная, равная длине большой оси. Каноническое уравнение эллипса причем вершины эллипса ! фокусы эллипса большая ось эллипса фокусное расстояние малая ось эллипса В уравнение эллипса входят квадраты переменных, причем знаки при квадратах одинаковые, а коэффициенты при квадратах разные.

Разновидности эллипса Уравнение эллипса со смещенным центром - центр эллипса Если в уравнении эллипса , то большой осью будет ось , фокусы эллипса будут лежать на этой оси и связь между параметрами эллипса будет такой: . .

Построение эллипса 1. Построить эллипс Для построения эллипса нужно знать координаты центра и размеры полуосей и Центр эллипса Полуоси Расстояние между фокусами . . , т. е. Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формуле Для данного примера получим

2. Построить эллипс Для получения канонического уравнения делаем некоторые преобразования: 1) Делим все члены уравнения на 45, так чтобы получит единицу в правой части уравнения 2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение центра и размеры полуосей - центр эллипса - полуоси 3) Строим эллипс

3. Построить кривую 1. 2. 3. 4. 5. Таким образом, центр эллипса имеет координаты Полуоси эллипса , т. е. При построении необходимо учесть, что уравнение определяет Только правую половинку эллипса, так как по условию имеем

4. Построить кривую Данное уравнение определяет эллипс, так как есть квадраты переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты различные. Кроме того, наличие линейной части уравнения означает, что центр эллипса смещен от начала координат. Приводим уравнение к каноническому виду Используем прием выделения полного квадрата согласно формуле 1. 2. 3. 4. 5. 6. центр , , полуоси

3. Гипербола Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами , по абсолютной есть величина постоянная, равная длине действительной оси. Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат В этом случае действительная полуось мнимая полуось Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси. Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением ! В уравнение гиперболы входят квадраты переменных, причем знаки при квадратах разные. Асимптоты гиперболы – это прямые к которым гипербола неограниченно приближается на бесконечности.

Построение гиперболы Для построения гиперболы удобно пользоваться вспомогательными построениями. 1. В системе координат строим прямоугольник с размерами на осях OX и OY соответственно. 2. Проводим диагонали этого прямоугольника. Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот гиперболы 3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и от них ведем ветви гиперболы к асимптотам.

Виды гипербол Рассмотрим другие виды гипербол Сопряженная гипербола действительная полуось мнимая полуось Равнобочная гипербола или Гипербола со смещенным центром Гипербола, приведенная к своим асимптотам или

Рассмотрим примеры построения гипербол 1. Построить гиперболу центр гиперболы действительная полуось мнимая полуось расстояние между фокусами

. 2 Построить кривую Возведем в квадрат обе части уравнения Собираем квадраты переменных в левую часть уравнения Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки при квадратах переменных разные. Кроме того, данная гипербола является сопряженной и равнобочной Можно записать уравнение в виде мнимая полуось действительная полуось Оставляем только нижнюю ветвь гиперболы, так как по условию

3. Построить кривую Данное уравнение определяет гиперболу (знаки при квадратах переменных различные) со смещенным центром (есть линейная часть) Приведем уравнение к каноническому виду центр гиперболы действительная полуось мнимая полуось

4. Парабола Определение. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой. Виды парабол Парабола с осью симметрии OX Парабола c осью симметрии OY

Парабола со смещенной вершиной Парабола с осью симметрии OX ! Парабола c осью симметрии OY Отличительные признаки уравнения параболы: отсутствует квадрат одной переменной.

Построение парабол Для построения параболы нужно знать: n Координаты вершины. n Ось симметрии параболы (определяется по той переменно, квадрат которой отсутствует в уравнении) n Направление ветвей (определяется по знаку : если в правой части канонического уравнения знак плюс, то ветви параболы идут в положительном направлении оси симметрии, если знак минус, то в отрицательном ) n Параметр параболы определяется по коэффициенту при переменной, стоящей в каноническом уравнении в первой степени, и определяет «ширину» параболы. Знание параметра помогает более качественно получить начальный участок . параболы

1. Построить параболу Данное уравнение является каноническим уравнением параболы, так как отсутствует квадрат переменной. Поэтому осью симметрии параболы будет ось OX. Вершина параболы в точке Ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX, так как в правой части уравнения знак “плюс”. ширина параболы параметр параболы

2. Построить кривую вершина параболы Ось симметрии параболы OX, так как отсутствует квадрат переменной x Ветви параболы направлены влево, так как в правой части уравнения получился знак “минус” параметр параболы Так как по условию , то уравнение определяет только верхнюю ветвь параболы

3. Построить кривую Преобразуем уравнение Уравнение определяет параболу. Сравнивая с уравнением , определяем координаты вершины. Ось симметрии OY. Ветви направлены вниз. параметр параболы

4. Построить параболу В уравнении отсутствует квадрат переменной y, поэтому оно определяет параболу с осью симметрии OY. Проведем преобразования уравнения, чтобы привести его к каноническому виду или вершина параболы параметр параболы Ветви параболы направлены вниз