Лекции по математическому анализу д ля студентов I

y A C 0 a-δ a a+δ x Т. 2. Если у функции существует предел при x→a, то он единственный. Пусть сущ. два предела A

2. 3. Достаточные признаки существования предела Т. 1. Если в окр. т. (↓), a f(x)< C (> C) то y C A 0 a-δ a a+δ x и f(x)↑

Т. 2. Если в окр. т. a f 1(x)≤f 2(x) и то y C A 0 a x

2. 4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины 2. 4. 1. Определения: - б. м. в окрестности т. x 0, если -б. б. в окрестности т. x 0 , если

- б. м. в окрестности т. x 0, если -б. б. в окрестности т. x 0 , если

2. 4. 2. Теоремы о бесконечно малых 1. - б. м. в окр. т. x 0 Дано: - Док. б. м. в окр. т. x 0. Док-во. i=1, 2.

Тогда Пусть 2. Дано: f(x) - ограниченна в окр. т. x 0 - б. м. в окр. т. x 0 Док. f(x)α(x) - б. м. в окр. т. x 0

Пусть "x Î ( x 0 - d , x 0 + d ) Тогда

3. Дано: окр. т. Док-во. α(x) - б. м. в окр. т. x 0, f(x)≠ 0 в x 0. α(x)/f(x) - б. м. в окр. т. x 0.

4. Дано: Док-во. β(x) - б. б. в окр. т. 1/β(x) - x 0. б. м. в. окр. т. x 0.

2. 4. 3. Сравнение бесконечно малых α 1(x) если Пример: б. м. более высокого порядка чем α 2(x)

α 1(x) и Пример: α 2(x) - б. м. одного порядка если

α 1(x) ~ Пример: α 2(x) - эквивалентны, - если

2. 5. Теоремы о пределах Т. 1. где - б. м. в окр. т. a. Док-во. 1. Дано: 2. Док: 3. б. м. в окр. т. - a.

2. Дано: 3. б. м. в окр. т. 4. Док. - a.

Т. 2. Дано: i=1, 2. Док-во. i=1, 2. Тогда

Т. 3. Дано: i=1, 2. Док-во. i=1, 2. Тогда

Т. 4. Дано: i=1, 2. A 2≠ 0 Док-во. i=1, 2.

Тогда

2. 6. Раскрытие неопределенностей 2. 6. 1. Примеры: т. к. n = m = 5/2.

2. 6. 2. Т. Безу Пусть Тогда Следствие. Если то

2. 6. 3. Если Примеры: 1. 2. Pn(a) = Qm(a) = 0, то

2. 6. 4. Пример:

2. 6. 5. 1 -ый замечательный предел B 0 x D BC< ﻥ BAC

Примеры: 1.

2. 3.

2. 6. 6. Второй замечательный предел y y=logax 1 0 φ A M loga(1+h) 1+h x B

Положим Пусть x=1/y, тогда при x→ 0 y→∞ и

Примеры: 1. 2. 3. 4. = x ~ sin x ~ tg x ~ arcsin x ~ arctg x ~ ln(1+x).

2. 7. Непрерывность функции 2. 7. 1. Определения 1. f(x) непрерывна в точке x 0, если 2. f(x) непрерывна в точке x 0, если 3. f(x) непрерывна в точке x 0, если

y f(x 0+Δx) f(x 0) 0 Δy x 0 Δx x 0+Δx x

2. 7. 2. Односторонние пределы a ← x x → a 1. x 0 -- y 0 точка непрерывности • x 0 y=f(x) x

2. x 0 -- точка устранимого разрыва y • ◦ y=f(x) 0 x 3. x 0 -- точка разрыва 1 рода y 0 • x 0 x

4. x 0 -- точка разрыва 2 рода и (или) не существуют или равны ∞ y y • 0 x 0 x x 0

Примеры: 1. y 4 • 0 1◦ x 4

2. y ◦ -1 ◦ π/2 0 -π/2 x

3. y x 2 0 1 3

2. 7. 3. Свойства непрерывных функций. Пусть f(x) и 1. f(x)+g(x) 2. f(x)g(x) 3. g(x) непрерывны в т. x 0. непрерывна в т. x 0 f(x)/g(x) непрерывна в т. x 0 если g(x 0)≠ 0 4. Если y=f(u) непрерывна в т. u 0 u=φ(x) непрерывна в т. x 0. u 0=φ(x 0) то y=f(φ(x)) непрерывна в т. x 0. .

Непрерывность на интервале 5. Непрерывность основных элементарных 6. функций. Например у=sin x. 7. 6. Непрерывность элементарных функций.

2. 7. 4. Свойства функций, непрерывных на отрезке ( ) 1 -я теорема Больцано-Коши y f(a) 0 f(b) c a x b

2 -я теорема Больцано-Коши y f(a)=A C 0 f(b)=B c a b x

1 -я теорема Вейерштрасса 2 -я теорема Вейерштрасса y 0 a x 2 b=x 1 x

-1 0 1 -1 -0, 5 0 -1 -0, 75 -0, 625 -0, 5625 -0, 5

3. Производная 3. 1. Определение и геометрический смысл y f(x+Δx) Δy f(x) φ M 0 K L Δx x x+Δx x

y f(x+Δx) Δy f(x) φ 0 Δx x x+Δx x

Пример:

3. 2. Теоремы о производной 1. 2. 3. 4.

5. 6.

3. 3. Таблица производных 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

3. 4. Дифференцирование обратных функций 10. 11. 12. 13.

Примеры: 1. 2.

3. 4.

3. 5. Дифференцирование неявной функции Определение неявно заданной функции Правило дифференцирования Примеры:

Логарифмическое дифференцирование Примеры:

3. 6. Дифференциал Определение и геометрический смысл Δy=AΔx+α, y f(x 0+Δx) f(x 0) AΔx=dy Δy=dy+α y=f(x) α dy Δy Δx 0 x x 0+Δx

Свойства дифференциала 1. 2. 3. 4. 5. 6.

Применение к приближенным вычислениям

3. 7. Производные и дифференциалы высших Порядков 3. 7. 1. Определение Примеры: 1. 2.

3. . 4. . . . .

3. 7. 2. Свойства производных высших Порядков 1. 2.

3. 8. Основные теоремы дифференциального исчисления Л. 1. f(x) дифф. в окр. т. x 0 и Тогда в окр. этой точки f’(x 0)>0 (<0). f(x)↑ (↓).

Т. Ферма f(x) непр. на (a, b), Если то y 0 a x 1 x 0 x 2 x b

Т. Ролля f(x) непр. на f(a) = f(b). y [a, b], дифф на (a, b) и Тогда 1. f(x)=const x 0 a ξ b

2. По 2 -ой т. Вейерштрасса По т. Ферма f’(ξ)=0. y x 0 a ξ b

Т. Лагранжа. f(x) непр. на [a, b], дифф. на Тогда удовлетворяет условиям т. Ролля (a, b).

y f(b)-f(a) ξ 1 0 ξ 2 a x b b-a

Т. Коши. f(x), g(x) непр. на [a, b], дифф. на Тогда удовлетворяет условиям т. Ролля (a, b). g’(x)≠ 0.

4. Приложения производной 5. 4. 1. Правила Лопиталя 6. 4. 1. 1. Пусть 7. 1. 2. f(x) непр. в окр. т. дифф. в т. 3. 4. Тогда и g(x) таковы, что x 0 , g’(x 0) ≠ 0.

x 0 ξ x Пусть |x-x 0| таково, что на (x 0, x) выполнены условия т. Коши. Тогда При x → x 0 ξ → x 0

4. 1. 2. Пусть f(x) и g(x) таковы, что 1. непр. в проколотой окр. т. 2. дифф. в окр. т. 3. 4. Тогда x 0 , g’(x 0) ≠ 0.

4. 1. 3. Пусть f(x) 1. непр. в окр. 2. дифф. в окр 3. 4. Тогда и g(x) таковы, что ∞ ∞ , g’(x) ≠ 0.

4. 1. 4. Пусть f(x) 1. непр. в окр. 2. дифф. в окр 3. 4. Тогда и g(x) таковы, что ∞ ∞ , g’(x) ≠ 0.

Примеры: 1. 2.

Пусть α>0. 5. eαx -- самая быстро растущая из осн. элем. ф-ций 6. lnx -- самая медлено растущая из осн. элем. ф-ций n! = 1. 2. 3…. . (n-1)n, 0! = 1.

4. 1. 5. Раскрытие неопределенности Примеры: 0∞

4. 1. 6. Раскрытие неопределенности Примеры: 00, ∞ 0, 1∞

4. 2. Исследование функций 4. 2. 1. Монотонность Т. 1. Необходимое и достаточное условия монотонности. Примеры: y 0 x

y x 0 y 2 0 3 3. y=x 3 -3 x 2 x y’=3 x 2 -6 x=3 x(x-2) y’=0 + -4 x 1 -0, x 2=2 - 0 2 + f(x)↑ -∞

4. 2. 2. Экстремумы Определение Т. 1. Необходимое условие экстремума f(x) x 0 непр. в окр. т. x 0, и x 0 - т. экстр. Док-во. 1. f’(x 0) = 0 или не существ. , выполнены усл. т. Ферма 2. -- т. доказана. Примеры: 1. y=1 -x 2, 2. y=|x|, x 0=0, y’(0) 3. y=x 3, дифф. в проколотой окр. т. x 0=0, y’(0)=0 y не сущ. x 0=0, y’(0)=0, экстр. нет x 0

Т. 2. 1 -ый достаточный признак экстремума f(x) непр. в окр. т. x 0, f’(x 0)=0 или не сущ. f’(x) меняет знак. дифф. в проколотой окр. т. и при переходе через т. x 0 x 10, f’(x 2)<0 → f(x)↑ при xx 0 → т. x 0 -- т. max. Примеры: при x<0 2. y=|x|, 0 1. и y=1 -x 2, f’(x)<0 x 0=0, y’=-1 -- т. min. x 0=0, f’(x)=-2 x, f’(x)>0 при x>0, 0 -- x<0, y’=1 т. max при x>0 →

Т. 3. 2 -ой достаточный признак экстремума f(x) дважды дифф. в окр. т. x 0, f’(x 0)=0 f’’(x 0)≠ 0. f’’(x 0)>0 → f’(x)↑ Док-во. Пусть в окр. т. x 0 f’(x) меняет знак при переходе через т. x 0 → т. x 0 -- т. min. Примеры: 1. 0 -- y=1 -x 2, x 0=0, f’(x)=-2 x, f’’(x)=-2<0 т. max 2. y=xlnx, 1/e По т. 1 y’=lnx+1, y’=0 -- т. min. при x=1/e, y’’=1/x>0

4. 2. 3. Выпуклость и точки перегиба Определение Т. 1. Необходимое и достаточное условие выпуклости. f(x) – дважды дифф. f(x) на (a, b) -- выпукла (вогнута) на (a, b) т. и т. т. когда f’’(x)<0 (f’’(x)>0).

y 0 x x 0 Т. 2. Необходимое условие перегиба. f(x) – непр. в окр. т. x 0 f(x) – дважды дифф. в прокол. окр. т. x 0 -- → т. перегиба не сущ-ет. f’’(x 0)=0 x 0 или

Т. 3. Достаточное условие перегиба. f(x) – непр. в окр. т. f(x) – дважды дифф. f’’(x 0)=0 т. x 0 в прокол. окр. т. x 0 или не сущ-ет и при переходе через меняет знак → x 0 -- точка перегиба. Пример: y’’=0 + x 1, 2=± 2 → ± 2 -+ -2 2 при т. перегиба.

0 -- т. max y 1/12 x -2 0 2

4. 3. Асимптоты графика Определение x=c 4. 3. 1. Вертикальные асимптоты Пример: -2 x≠± 2 y 0 2 x -1 x=± 2 -- верт. асимп.

4. 3. 2. Наклонные асимптоты y 0 y=f(x) N M K y=kx+b x y=kx+b

Пример: y 0 y=x x y=x -- наклонная асимптота

4. 4. Порядок исследования функции 1. Область определения 2. 1. 1. Нахождение области определения 3. 1. 2. Поведение функции на границе области определения (односторонние пределы) 4. 1. 3. Нахождение асимптот 2. Характерные точки (точки пересечения с осями координат) 3. Основные элементы поведения функции 4. 3. 1. Ограниченность 5. 3. 2. Четность 6. 3. 3. Периодичность

4. Исследование функции с помощью первой производной 5. 4. 1. Нахождение критических точек (y’=0 или не существует) 6. 4. 2. Определение участков монотонности 7. 4. 3. Нахождение точек экстремума 5. Исследование функции с помощью второй производной 6. 5. 1. Нахождение критических точек (y’’=0 или не существует) 7. 5. 2. Определение участков выпуклости и вогнутости 8. 5. 3. Нахождение точек перегиба

6. Составление таблицы x Критические точки и интервалы между ними y’ Значения производной в критических точках и знаки в интервалах y’’ Значения второй производной в критических точках и знаки в интервалах Характеристика критических точек, значения функции в них и поведение на интервалах y

Пример: 1. Обл. опр.

-- вертикальные асимптоты. -- наклонная асимптота y ◦ -1 0 • ◦ 1 x

3. нечетная функцмя 4. 5. y’ y’’ - + - - -1 + 0 - - 1 + +

6. x (-1, 0) 0 y’ - (0, 1) - 1 не (1, √ 3) - √ 3 (√ 3, ∞) 0 + сущ y’’ + 0 - не сущ + y т. п 0 ↓∩ не ↓U ↓U сущ + min 3√ 3/2 ↑U

7. график y x -1 0 1

Пример: 1. Обл. опр. y=xe-x (-∞, ∞) y • 0 x

y=0 – горизонтальная асимптота x= 0, y= 0. 2. Точка пересечения с осями 3. 4. y’=e-x-xe-x=(1 -x)e-x, 5. y’’=-e-x-(1 -x)e-x=(x-2)e-x, y’ + y’’ 1 y’=0 при y’’=0 - 2 + x=1. при x=2.

6. X (1 ∞, 1) (1, 2) 2 (2, ∞) y’ + - - y’’ - y ↑∩ 0 - max ↓∩ e-1 0 + т. ↓U пер. 2 e-2

7. График y e-1 2 e-2 0 1 2 x

Пример: 1. Обл. опр. y • 2 0 y=0 -- горизонтальная асимптота. x

2. При -- 3. x=0 y=2 решений нет. функция ограничена снизу, четная

4. y’=0 при x=0, y’ не существ. при x=± 1. 5. y’’≠ 0, y’’ не существ. при x = ± 1.

6. X (-ε, 0) 0 (0, 1) 1 y’ + - не сущ. y’’ - - не + сущ. y ↑∩ 0 max ↓∩ 2 (1, + ∞) т. ↓U пер. √ 2

7. График y -1 0 1 x

5. Кривые второго порядка 5. 1. Эллипс y M(x, y) x F 1(-c, 0) 0 F 2(c, 0)

y b -a F 1 0 -b Частный случай F 2 a x

5. 2. Гипербола y M(x, y) x F 1(-c, 0) 0 F 2(c, 0)

y b F 1 -a 0 -b a x F 2

y b -a 0 -b a x

5. 3. Парабола y N(-p/2, y) M(x, y) x -p/2 0 F(p/2, 0) F

5. 4. Поворот системы координат y y 1 x x 1