Лекции по физике Механика Динамика вращательного движения Гироскопы

Лекции по физике. Механика Динамика вращательного движения. Гироскопы. Неинерциальные системы отсчёта

Динамика вращательного движения n Для описания вращательного движения вокруг неподвижной оси надо использовать второй закон Ньютона в следующем виде: =Mz/Jz (1) где Jz – момент инерции тела относительно неподвижной оси z, - угловое ускорение, Mz – проекция момента силы: (2) 2

Динамика вращательного движения n В формуле (2) F – это приложенная сила, а r – радиусвектор, проведённый от оси вращения к точке приложения силы 3

Динамика вращательного движения n В случае действия на тело нескольких внешних сил под М в (2) надо понимать сумму моментов этих сил: n В выражение (1) надо подставлять проекцию суммарного момента силы на ось вращения 4

Динамика вращательного движения n n В общем случае вращающееся тело будет оказывать воздействие на точки в которых закреплена ось Можно показать, что для любого твёрдого тела существуют три оси, проходящих через его центр масс, вокруг которых тело может вращаться свободно, т. е. в точках крепления таких осей силы не действуют. Эти оси называют свободными осями тела 5

6

7

Динамика вращательного движения n В более общем виде уравнение динамики вращательного движения (1) может быть записано как: (3) n Момент инерции тела J определяется распределением массы по объёму тела 8

Динамика вращательного движения n n Момент инерции в формуле (3) в общем случае является тензором, т. е. математическим оператором, задающим некоторое правило преобразования векторов. При действии тензора на вектор получается другой вектор Тензоры можно представлять в виде матриц. Момент инерции может быть представлен матрицей размерности 3 3 9

Динамика вращательного движения n В общем случае вектор момента импульса L определяется произведением тензора инерции на вектор-столбец угловой скорости: (4) 10

Динамика вращательного движения n n Значения компонент тензора инерции зависят от распределения масс в системе и её ориентации относительно системы координат Путём преобразования системы координат (поворота) можно получить тензор момента инерции диагонального вида. В этом случае три взаимно перпендикулярных оси, проходящих через центр масс системы, называются её главными осями инерции, а ненулевые компоненты тензора инерции – главными моментами инерции 11

Вычисление моментов инерции n n В дальнейшем мы будем рассматривать относительно простую задачу вращения твёрдого тела вокруг фиксированной оси. В этом случае момент инерции можно представить скалярной величиной Момент инерции материальной точки определяется по формуле: J=mr 2 12

13

Вычисление моментов инерции n Чтобы вычислить момент инерции протяжённого тела, надо разбить его на малые части и посчитать J по формуле: (4) n n Чтобы получить точное выражение надо в (4) устремить ∆m к нулю и перейти от суммирования к интегрированию Расчёт моментов инерции можно легко выполнить для тел простой формы 14

Вычисление моментов инерции n Момент инерции диска (цилиндра) толщиной относительно его оси вращения: q q dm=2 r dr d. J=r 2 dm dr R 15

16

Вычисление моментов инерции n Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец dm ℓ где S – площадь сечения, m – масса, ℓ - длина и - плотность материала стержня 17

Моменты инерции тел n Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр: n Момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр: n Момент инерции диска относительно оси, совпадающей с его диаметром: 18

19

Теорема Штейнера n Момент инерции J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции Jc относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния a между осями: J=Jc+ma 2 20

Гироскопы n n Гироскопом (или волчком) называют массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг его оси симметрии Гироскопы имеют важное практическое применение. Они стремятся сохранить ориентацию своей оси вращения в пространстве. Этот эффект используется для создания гирокомпасов, являющихся основой современного навигационного оборудования 21

Гироскопы n n При воздействии на ось гироскопа наблюдается гироскопический эффект, при котором гироскоп начинает совершать относительно сложное движение Если угловая скорость вращения оси гироскопа мала по сравнению с угловой скоростью вращения гироскопа вокруг этой оси, то наблюдается прецессия – медленное вращение оси гироскопа вокруг третьей оси 22

23

Неинерциальные системы отсчёта n n Законы Ньютона неприменимы в неинерциальных системах отсчёта. Однако, на практике часто возникает задача описания движения тела в неинерциальной системе отсчёта Чтобы решить эту задачу, ускорение тела раскладывают на две компоненты: где - ускорение, возникающее под действием силы, а - в её отсутствие 24

Неинерциальные системы отсчёта n С последним ускорением можно формально связать фиктивную силу инерции Fin=m . Тогда уравнение движения запишется в виде: n Важными частными случаями являются: Системы отсчёта, движущиеся прямолинейно равноускоренно 2. Системы отсчёта, вращающиеся с постоянной угловой скоростью 1. 25

Неинерциальные системы отсчёта n n Во вращающейся системе отсчёта вводят центробежную силу Fцс=m 2 R, направленную от оси вращения, и силу Кориолиса Fk Модуль силы Кориолиса определяется с помощью формулы: Fk=2 m·v· ·sin где v – скорость движения тела во вращающейся системе отсчёта, - угол между векторами и v 26

Неинерциальные системы отсчёта n n Сила Кориолиса действует перпендикулярно векторам и v Чтобы определить направление силы Кориолиса, надо производить отсчёт угла в направлении от v к по часовой стрелке по отношению к наблюдателю. При sin >0 Fk направлена от, а при sin <0 – к наблюдателю v Fk 27

28

29