Лекции по Дискретной математике Лекция 4 Отношения

Лекции по Дискретной математике Лекция 4 Отношения

Определение отношения Подмножество n-ой степени множества называется n-местным отношением на этом множестве. (a 1, a 2, …, an) R R(a 1, a 2, …, an) a 1 R a 2 R … R an ВИДЫ ОТНОШЕНИЙ: R={a|a A} 1 -местное - подмножество R={(a 1, a 2)|a 1, a 2 A} 2 -местное – бинарное отношение R={(a 1, a 2, a 3)|a 1, a 2, a 3 A} 3 - местное – тернарное отношение R={(a 1, …, an|a 1, …, an A} n-местное – n-арное отношение ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ: Обратное отношение Дополнение отношения Тождественное отношение Универсальное отношение -1 R ={(a, b)| (b, a) R} R= {(a, b)|(a, b) R} I= {(a, a)|a A} U= {(a, b)|a, b A}

Примеры отношений M={1, 2, 4, 16, 256} R M M, где R={(a, b)| a=b*b} |M|=5, |M M|=25 R={(1, 1); (4, 2); (16, 4); (256, 16)} |R|=4 ОСТАЛЬНЫЕ ТИПЫ ОТНОШЕНИЙ: Обратное отношение Дополнительное отношение -1 R ={(1, 1); (2, 4); (4, 16); (16, 256)} R= {(1, 2); (1, 4); (1, 16); (1, 256); (2, 1); (2, 2); (2, 4); (2, 16); (2, 256); (4, 1); (4, 4); (4, 16); (4, 256); (16, 1); (16, 2); (16, 16); (16, 256); (256, 1); (256, 2); (256, 4); (256, 256)}

Способы задания отношений R V V, где V={мама, папа, сын, соседи, друзья} n Список R={(мама, мама); (мама, папа); (папа, мама); (папа, папа); (мама, сын); (сын, мама); (папа, сын); (сын, папа)} n Характеристический предикат R={(a, b)| «a родственник b» }

Способы задания отношений R V V, где V={мама, папа, сын, соседи, друзья} мама n Диаграмма папа сын соседи друзья мама папа сын соседи друзья

Способы задания отношений R V V, где V={мама, папа, сын, соседи, друзья} сосед друзь и я мама папа сын мама n Матрица 1 1 1 0 0 папа 1 1 1 0 0 сын 1 1 1 0 0 сосед и 0 0 0 1 0 друзь я 0 0 1 R[i, j]=.

Свойства отношений n рефлексивность. ( a A) a. Ra. n антирефлексивность. ( a A) (a. Ra). n симметричность. ( a, b A) (a. Rb b. Ra). n антисимметричность. ( a, b A) (a. Rb=b. Ra a=b). n транзитивность. ( a, b, c A) (a. Rb b. Rc a. Rc). n полнота (линейность). ( a, b A)(a≠b a. Rb b. Ra).

Теорема 1 о матрицах отношений n Матрица композиции двух отношений равна произведению матриц этих отношений. R 1 R 2 = R 1 * R 2

Теорема 2 о матрицах отношений n Элементы матрицы объединения отношений совпадают с большим элементом из матриц этих отношений. R 1 R 2 = R 1 R 2