Лекции по Дискретной математике Лекция 2 Подмножества

Лекции по Дискретной математике Лекция 2 Подмножества

Обозначения подмножества Определение: Множество K называется подмножеством множества G, если каждый элемент множества K является элементом множества G. G K G ( x K) (x G) K Множество - универсум для своего подмножества. (L V) L V K G G K G=K - собственное подмножество K G ( x K) (x G), НО y G y K U G- покрывающее множество A U B U D A A B A D

Булеан • Класс всех подмножества называется его булеан (показательное множество) Аксиома: Из любого множества можно образовать булеан, то есть такое множество, которое состоит из всех подмножеств данного множества. ОБОЗНАЧЕНИЕ: S={0, 5 z|0

Частные случаи подмножеств n Семейство подмножеств {Ei} некоторого множества А называется покрытием, если каждый элемент множества А лежит хотя бы в одном из элементов данного семейства. S={ζ, δ, λ} PS 1={{ζ}, {λ}, {ζ, δ}, {ζ, λ}} PS 2={ {λ}, {ζ, δ, λ}} PS 3={{ζ, δ}, {ζ, λ}} S={0, 5 z|0

Частные случаи подмножеств n Семейство подмножеств {Ei} некоторого множества А называется дизъюнктивным, если элементы этого класса попарно не пересекаются и в множестве А есть элементы, не входящие ни в одно из этих подмножеств. S={ζ, δ, λ} DS 1={{ζ}, {λ}} DS 2={{λ}} DS 3={{ζ, δ}, } S={0, 5 z|0

Частные случаи подмножеств n Семейство подмножеств {Ei} некоторого множества А называется разбиением (дизъюнктивным покрытием), если каждый элемент множества А лежит строго в одном из элементов семейства. S={ζ, δ, λ} RS 1={{ζ}, {λ}, {δ}} RS 2={ {λ}, {ζ, δ}} RS 3={{δ}, {ζ, λ}} S={0, 5 z|0

Векторы n Пара (a, b) упорядочена, если (a, b) (b, a) – вектор длины 2 с координатами a и b. n Если у вектора n координат, то речь идет о n-мерном векторе или упорядоченной n-ке. (а 1, а 2, … аn)= (b 1, b 2, … bm) n=m и ( i=1, 2…n) ai=bi

Декартово произведение множеств n Прямое (декартово) произведение двух множеств А и В - множество всех упорядоченных пар, в которых первая координата взята из первого множества, а вторая из второго. n Когда в декартовом произведении более двух множеств, то множество упорядоченных n-ок длины, множеств. строится из равной числу n Если перемножаемые множества равны, то речь идет о степени множества:

Теорема о мощности прямого произведения n. Теорема: мощность прямого произведения множеств равна произведению перемножаемых множеств. |F H|=|F| |H| n. Следствие. мощностей

Пример прямого произведения двух множеств A 1={1, 2, 3, 4} A 1 A 2={f, g, h} A 2 A 1={(f, 1), (g, 1), (h, 1), (f, 2), (g, 2), (h, 2), (f, 3), (g, 3), (h, 3), (f, 4), (g, 4), (h, 4)} A 2

Соответствия n Соответствие G A 1 x…Аn-1 x. An - подмножество прямого произведения A 1={1, 2, 3, 4} A 2={f, g, h} G A 1 A 2 G={(1, f), (2, g), (3, h), (4, g), (4, f)} n X- область определения соответствия (множество векторов - прообразов), если Х A 1 x…Аn-1 n Y- область значений соответствия (образ), если Y An.

Виды соответствий n Если область определения X= A 1 x…Аn-1, то соответствие всюду определенное (инъективное). А В n Если область значений Y=An, то соответствие сюръективное. А В

Виды соответствий n Инъективно – сюръективное соответствие называется биективным (взаимно-однозначным) А В n Утверждение: множества, между элементами которых можно установить взаимно-однозначное соответствие, равномощны.