Лекции по дисциплине Математический анализ Лектор профессор кафедры

Лекции по дисциплине «Математический анализ» Лектор профессор кафедры математики и информатики Мария Альбертовна Зироян

ЛЕКЦИЯ 1 • Символы математической логики и их использование. Понятие множества. • Последовательность. Предел последовательности. • Функция. Способы задания функции.

Символы математической логики Кванторы - общности - существования Связки - конъюнкция (и) - дизъюнкция (или) - импликация (если…, то…) - эквиваленция (если и только если…, то… - отрицание (неверно, что…)

Понятие множества Под множеством понимается совокупность некоторых объектов. Объекты, которые образуют множество, называются элементами или точками, этого множества. Множества обозначаются прописными буквами, а их элементы – строчными. - принадлежит - не принадлежит - подмножество Ø - пустое множество

Операции над множествами -объединение -пересечение -разность Пример. Даны множества Найти объединение, пересечение и разность множеств

Последовательность. Предел последовательности. • Определение 1. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что дана числовая последовательность : словами, числовая последовательность эта функция натурального аргумента называются членами последовательности, а число общим членом. Пример.

• Определение 2. Число A называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого положительного числа , найдется такой номер N , зависящий от , что для всех членов последовательности с номерами справедливо Предел числовой последовательности обозначается или Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а в противном случае - расходящейся.

Функция. Способы задания функции. • Определение 3. Если каждому элементу х из множества X по некоторому правилу соответствует единственный элемент у из множества Y , то говорят, что на множестве X задана функция переменной х. При этом множество X называется областью определения функции, а множество Y – областью значений функции. x- называется независимой переменной или аргументом, у - зависимой переменно, буква f – обозначает закон соответствия.

Существует несколько способов задания функции. • Аналитический способ, если функция задана формулой вида. • Табличный способ, если функция задана в виде таблицы. • Графический способ, если функция изображена в виде графика-множества точек плоскости, абсциссой которых есть значения аргумента , о ординаты - соответствующие им значения функции. • Словесныйспособ, если функция описана правилом ее составления, например функция Дирихле: если рационально; и если нерационально.

• Функция может быть задана программой, вычисляющей ее значения с помощью компьютера. Основныесвойства функций. 1. Четность и нечетность. Функция называется четной если для любых значений , из любой области определения и нечетной если , Функция, не являющаяся ни четной, ни нечетной, называется функцией общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

• 2. Монотонность. Функция называется возрастающей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Функции возрастающие или убывающие называются монотонными. •

• 4. Периодичность. Функция называется периодической периодом с если для любых из области определения функции

Основные элементарные функции • 1) Степенная функция: , где Ее область определения и множество значений зависят от α. Например: а) б) в)

• 2. Показательная функция: 3) Логарифмическая функция: 4) Тригонометрические функции: а) б) в) г) где

• 5) Обратные тригонометрические функции: а) б) , в) г) y=arcctg x: ,

• Графики основных элементарных функций: у у у=х х О у О О у х у=х1/2 у=х1/4 х О х

• Графики основных элементарных функций: у=х1/3 у у у=х1/5 у= О О х у=ax у у= (0 а 1) у х у=ax (а>1) 1 О х

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 2. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ • Графики основных элементарных функций: у О у 1 х О 1 х

у 1 y=соs x О х -1 у 1 y=sin x О -1 х

y=tg x у О х

y=сtg x у О х

у у у=arccos x у=arcsin x -1 О 1 х

у у у=arcctg x у=arctg x -1 О 1 х О х

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ • О п р е д е л е н и е 10. Точка a называется предельной точкой множества , если в любой ее окрестности найдется хотя бы одна точка множества X , отличная от a. При этом точка a может и не принадлежать множеству X. • О п р е д е л е н и е 11. Число A называется пределом (по Гейне) функции в точке a (или при ), если для любой последовательности значений аргумента сходящейся к a и состоящей из чисел, отличных от a , соответствующая последовательность сходится к числу A.

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ • О п р е д е л е н и е 12. Число A называется пределом (по Коши) функции в точке a (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство: • Для обозначения предела используют символику: (или при ).

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ • О п р е д е л е н и е 13. Число A называется левым (правым) пределом функции в точке a (или при ), если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию ( ), справедливо неравенство: Используют символику: для правого предела, для левого предела.

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ • О п р е д е л е н и е 14. Число A называется пределом функции при , если для любого сколь угодно малого положительного числа можно указать отвечающее ему положительное число такое, что для всех , удовлетворяющих условию: будет справедливо неравенство: • При этом используют символику:

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 4. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ • О п р е д е л е н и е 15. Говорят, что функция имеет в точке a предел если для любого положительного числа M можно указать отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений аргумента , удовлетворяющих условию справедливо неравенство: • При этом используют символику:

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 5. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА • 1) • 2) Справедливо равенство (первый замечательный предел): • 3) Если ; то • 4) Справедливо равенство (второй замечательный предел): ( или где ), - основание натурального логарифма,

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 5. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА • 5) Если • то Если существуют конечные пределы: , то справедливы следующие равенства: • 6) • 7) • 8) , если

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 5. СВОЙСТВА ПРЕДЕЛА • 9) • 10)

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА • а) Если при замене на под знаком предела получают определенное число, то оно и будет значением предела: • б) Если при замене на под знаком предела получают • где c при замене • в) Если число, то на под знаком предела получают то говорят, что под знаком предела неопределенность.

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 6. НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРЕДЕЛА • В таком случае задача вычисления предела сводится к раскрытию неопределенности: тождественными преобразованиями «убирают» неопределенность, если это возможно, и вычисляют предел.

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Примеры • П р и м е р 1. Вычислить предел Р е ш е н и е. . О т в е т:

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Примеры • П р и м е р 2. Вычислить предел Р е ш е н и е: • П р и м е р 3. Вычислить предел Р е ш е н и е:

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Примеры • П р и м е р 4. Вычислить предел Р е ш е н и е: . • П р и м е р 5. Вычислить предел Р е ш е н и е:

ФУНКЦИЯ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Примеры О т в е т: 0. • П р и м е р 6. Вычислить предел Р е ш е н и е: