Лекции 18 Теория измерений Литература 1 86

Лекции 18. Теория измерений Литература [1] § 86 ‑ 90, [2] § 26 ‑ 28.

Многоугольники • Многоугольником называется множество точек плоскости, представляющее собой объединение конечного числа, попарно не имеющих общих внутренних точек треугольников.

Площадь многоугольника • Пусть дано отображение s множества многоугольников плоскости на множество действительных чисел R. s: R, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам площади): • 1. (Аксиома позитивности) Для любого многоугольника M имеет место неравенство s(M) 0. • 2. (Аксиома инвариантности) Любые два конгруэнтных многоугольника M N имеют равные площади: s(M)=s(N). • 3. (Аксиома аддитивности) Если многоугольник M составлен из двух многоугольников M 1 и M 2, M=M 1+M 2, то s(M)=s(M 1)+s(M 2). • 4. (Аксиома нормированности) Площадь единичного квадрата Q равна единице: s(Q)=1. • Тогда число s(M) будем называть площадью многоугольника.

Пусть прямоугольник P=AB C D содержится в прямоугольнике Q=ABCD, причем точка B лежит на стороне AB, а точка D - на стороне AD. Тогда s(P) s(Q).

Пусть P произвольный прямоугольника со сторонами a и b. Тогда s(P)=ab.

Для произвольного треугольника T со сторонами a, b, c; углами A, B, C, и соответствующими высотами имеют место равенства:

Теорема о единственности площади многоугольника Существует не более одного отображения s: R, удовлетворяющего аксиомам площади 1 -4.

Определим на множестве всех треугольников плоскости отображение s: R, положив для произвольного треугольника T со сторонами «a» и «b» и углом « » между ними

Под ориентированным треугольником будем понимать произвольную упорядоченную тройку точек (АВС) плоскости. Если точки лежат на одной прямой, то ориентированный треугольник (АВС) будем называть вырожденным. • Под площадью ориентированного треугольника (ABC) будем понимать число , где смешанное произведение векторов • и.

Для трех произвольных точек A, B, C справедливы равенства Доказательство для случая: Модуль площади ориентированного треугольника равен площади соответствующего ему неориентированного треугольника:

Для произвольного ориентированного треугольника ABC и произвольной точки D справедливо равенство:

Для произвольного треугольника ABC и точки D, лежащей на стороне AB, справедливы равенства: • Из первого равенства следует

Разложение многоугольника M на треугольники называется триангуляцией, в случае если пересечение любых двух треугольников при i j, является: либо пустым множеством, либо их общей вершиной, либо их общей стороной • Для любого разложения многоугольника M на треугольники существует триангуляция многоугольника M такая, что • .

Для любого разложения треугольника T на треугольники имеет место равенство.

Теорема существования площади многоугольника • Существует отображение s: R, удовлетворяющее аксиомам площади 1 -4

Равносоставленные многоугольники • Многоугольники A и B называются равносоставленными в том случае, когда существуют их разложения • и • на попарно конгруэнтные многоугольники.

Любой треугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником. Если для произвольных многоугольников A, B, C имеет место A B и B C, то A C.

Любые равновеликие прямоугольники равносоставлены.

Любой многоугольник равносоставлен с некоторым прямоугольником

Теорема Бойяи-Гервин Любые два равновеликих многоугольника являются равносоставленными.

Равнодополняемые многоугольники • Назовем два многоугольника A и B равнодополняемыми в случае, когда найдутся попарно конгруэнтные многоугольники • такие, что • и.

Теорема Дене - Кагана • Если многогранники A и B являются равносоставленными (или равнодополняемыми), то найдутся натуральные числа • такие, что имеет место равенство: • , где и величины всех двугранных углов многогранников A и B соответственно

Куб не равносоставлен с правильным тетраэдром • Двугранный угол правильного тетраэдра - . Двугранные углы куба равны. • Следовательно, - рациональное число. • . Можно показать, что число иррациональное.