Лекции 16 17 Пучки прямых на плоскости Лобачевского

Лекции 16, 17. Пучки прямых на плоскости Лобачевского. Литература [1] § 76, 80, [2] § 24, 25.

Пучки прямых на плоскости Лобачевского Множество всех прямых плоскости Лобачевского, проходящих через одну точку, будем называть пучком пересекающихся прямых. Множество всех расходящихся прямых, имеющих один и тот же общий перпендикуляр будем называть пучком расходящихся прямых. И множество всех прямых, параллельных между собой в одном и том же направлении, назовем пучком параллельных прямых. Точка пересечения прямых, принадлежащих пучку пересекающихся прямых, называется его центром. Общий перпендикуляр прямых, принадлежащих пучку расходящихся прямых, носит называние его базы.

Свойство четырехугольника Саккери Дан двупрямоугольник ABCD, AD – его нижнее, а ВС – верхнее основания, N – середина верхнего основания ВС, MN – перпендикуляр, опущенный из точки N на нижнее основание AD. Двупрямоугольник ABCD тогда и только тогда является четырехугольником Саккери, когда прямая MN перпендикулярна верхнему основанию ВС.

Теорема о серединных перпендикулярах к сторонам треугольника Серединные перпендикуляры сторон треугольника на плоскости Лобачевского принадлежат либо пучку пересекающихся, либо пучку расходящихся, либо пучку параллельных прямых, при этом существуют треугольники, серединные перпендикуляры которых принадлежат каждому из трех типов пучков.

Два перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются

Два перпендикуляра к сторонам треугольника расходятся

Два перпендикуляра к сторонам треугольника параллельны

Существование треугольников, серединные перпендикуляры которых принадлежат трем типам пучков.

Определение обыкновенных точек Пусть на плоскости Лобачевского дан пучок прямых. Точку будем называть обыкновенной, если она не совпадает с центром в случае пучка пересекающихся прямых и не принадлежит базе в случае пучка расходящихся прямых. Если нам дан пучок параллельных прямых, то любая точка плоскости будет обыкновенной. Точки плоскости, совпадающие с центром пучка пересекающихся прямых или принадлежащие базе пучка расходящихся прямых будут называться нами особыми.

Траектории пучков Пусть на плоскости Лобачевского дан некоторый пучок Р. Две обыкновенные точки А и В находятся в отношении : А В, если серединный перпендикуляр отрезка АВ является прямой пучка. Теорема. Отношение является отношением эквивалентности. Определение. Класс эквивалентностей на множестве обыкновенных точек относительно отношения называется траекторией пучка.

Траектории пучка пересекающихся прямых Кривая тогда и только тогда служит траекторией пучка пересекающихся прямых, когда она является окружностью с центром в центре пучка.

Множество точек, принадлежащих полуплоскости Лобачевского и отстоящих от ее границы на одно и то же расстояние, называется эквидистантой.

Траектории пучка расходящихся прямых Траектория пучка расходящихся прямых является эквидистантой и наоборот, любая эквидистанта служит траекторией некоторого пучка расходящихся прямых.

Траектории пучка параллельных прямых Траектория пучка параллельных прямых называется орициклом.

Свойства окружности на плоскости Лобачевского 1) Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр. 2) Серединный перпендикуляр к хорде окружности проходит через ее центр. 3) Прямые, проходящие через центр окружности, образуют равные углы с прямой, соединяющей их точки пересечения с окружностью. 4) Прямая линия пересекает окружность не более чем в двух точках. 5) Касательная к окружности перпендикулярна прямой, проходящей через центр и точку касания.

Свойства траекторий пучков 1) Траектория пучка симметрична относительно любой своей оси. Под хордой траектории пучка будем понимать отрезок, соединяющий его две точки. 2) Серединный перпендикуляр к хорде траектории является осью пучка. 3) Пусть АВ – хорда траектории пучка. Тогда прямая АВ образует равные углы с лучами траектории, проведенными в точках А и В.

Рисунок к свойству 3

Свойство 5 траекторий пучков Произвольная прямая имеет с траекторией пучка не более двух общих точек.

Свойство 6 траекторий пучков Касательная к траектории пучка перпендикулярна к его оси, проходящей через точку касания.

Модель Келли - Клейна На евклидовой плоскости зафиксируем окружность с центром в точке O и радиусом, равным единице. Назовем ее абсолютом. - множество всех точек круга, ограниченного окружностью , - множество всех внутренних точек этого круга. Точки множества будем называть ‑точками Множество всех -точек составляет плоскость, на которой мы и будем строить модель Кэли-Кляйна плоскости Лобачевского. Будем называть ‑прямыми произвольные хорды окружности

Рисунок модели Будем считать, что -точка X принадлежит ‑прямой x тогда и только тогда, когда точка X как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде x абсолюта.

Определение 1. Пусть A, B, C, D – упорядоченная четверка произвольных различных точек, лежащих на одной прямой евклидовой плоскости. Отношение двух простых отношений точек (AB, C) к (AB, D) будем называть двойным или сложным отношением четырех точек A, B, C, D.

Лемма 1. Если для точек A, B, C, D, D одной прямой имеет место равенство , то D = D’.

Лемма 2. Если на плоскости дана произвольная аффинная система координат, то для любых точек A(x 1, y 1), B(x 2, y 2), C(x 3, y 3), D(x 4, y 4) одной прямой имеет место равенство =

Лемма 3. Для любых точек А, В, С и D оной прямой справедливо соотношение.

Определение Биективное отображение будем называть ‑движением, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1) Отображение g переводит абсолют в себя: 2) Отображение g переводит хорды окружности в хорды окружности ; 3) Отображение g сохраняет сложное отношение четырех точек, т. е. для любых четырех точек A, B, C, D, лежащих на одной хорде абсолюта и их образов имеет место равенство

Примеры простейших ‑движений Вращение плоскости вокруг центра абсолюта O на произвольный угол является ‑движением Симметрия Sd относительно произвольного диаметра d абсолюта является ‑движением.

Пример 3 Пусть на плоскости дана прямоугольная декартовая система координат, начало которой совпадает с центром О абсолюта. Выберем произвольное число а, удовлетворяющее условию: 0<a<1. Тогда отображение Sa: ' ', которое каждой точке M(x; y)ставит в соответствие точку M’(x’; y’), где является -движением.

Свойства ‑движений Свойство 1. Множество всех ‑движений является группой относительно операции композиции отображений Свойство 2. Если при -движении точки А, В и С принадлежащие одной -прямой преобразуются сами в себя, то любая точка этой прямой также является неподвижной. Свойство 3. Любое ‑движение переводит ‑прямую в ‑прямую и сохраняет отношение “лежать между”. Следствие свойства 3. Любое ‑движение переводит ‑отрезок в ‑отрезок, ‑угол - в ‑угол, ‑полуплоскость - в ‑полуплоскость. Свойство 4. Для любой -точки A существует движение g такое, что g(A)=O.

Свойство 5. Пусть на -плоскости имеются два произвольных флага F=(A, h, ) и F =(A , h , ). Тогда существует -движение g такое, что g(F)=F , т. е. g(A)=A , g(h)=h , g( )= .

Свойство 6. Если -движение g некоторый флаг F=(O, h, ), где О – центр абсолюта, переводит в себя, то g тождественное отображение.

Свойство 7. Пусть на -плоскости имеются два произвольных флага F=(A, h, ) и F =(A , h , ). Тогда существует ровно одно -движение g такое, что g(F)=F.

-точка принадлежит -прямой, если она как точка евклидовой плоскости принадлежит хорде абсолюта, представляющей собой -прямую. Веденное отношение совпадает с отношением принадлежности точек и прямых евклидовой плоскости, то оно удовлетворяет требованиям аксиом I 1 -I 3 аксиоматики Гильберта

Отношение “лежать между” для упорядоченных троек ‑точек. ‑точка B лежит между ‑точками A и C и писать A-B- C тогда и только тогда, когда A, B, C три различные ‑точки одной ‑прямой и точка B лежит на отрезке AC как отрезке хорды евклидовой плоскости. Отношение “лежать между” удовлетворяет требованиям аксиом II группы аксиоматики Гильберта, т. к. совпадает с таким же отношением для точек евклидовой плоскости и, следовательно, удовлетворяет всем его свойствам.

Определение Произвольные фигуры F и G, лежащие на ‑плоскости назовем конгруэнтными или равными, если существует ‑движение g, при котором фигура F отображается на фигуру G

Утверждение аксиомы III 1. Если дан -отрезок АВ и луч с началом в -точке A , то существует такая точка В этого луча, такая, что АВ = А В. Для каждого отрезка АВ требуется, чтобы АВ=ВА

Утверждение аксиомы III 2 Если отрезок АВ конгруэнтен отрезкам А В и А В , то отрезки А В конгруэнтны между собой.

Утверждение аксиомы III 3. Если точка В лежит между точками А и С, А-В-С, а точка В между точками А и С , А -В -С , и АВ = А В , ВС= В С , то АС = А С.

Утверждение аксиомы III 4. Пусть дан угол hk и дан флаг F =(O , h , ). , то в полуплоскости существует один и только один луч k с началом в точке О , такой, что hk= h k. Каждый угол конгруэнтен сам себе.

Утверждение аксиомы III 5. Пусть А, В и С – три точки, не принадлежащие одной прямой, А , В и С так же три точки, не лежащие на одной прямой, пусть АВ = А В , ВС = В С и ABC= A B C , тогда BAC= B A C.

На ‑плоскости имеет место аксиома параллельности Лобачевского: через ‑точку B, не лежащую на ‑прямой a проходят по крайней мере две ‑прямые b и c, не имеющие общих точек с ‑прямой a.

Геометрия Лобачевского содержательно непротиворечива. Аксиома параллельности не является следствием аксиом I – IV аксиоматики Гильберта. Так как пятый постулат Евклида равносилен аксиоме параллельности евклидовой геометрии, то этот постулат также не зависит от остальных аксиом Гильберта.