Лейбниц Г. В.
21 июня (1 июля) 1646, Лейпциг, Германия — 14 ноября 1716, Ганновер, Германия) — немецкий философ, математик, юрист, дипломат.
СИМВОЛИКА ЛЕЙБНИЦА.
Операторы дифференцирования d( ) и интегрирования
Многократное применение операторов можно принимать как степень оператора, например, для d( ):
понимая под их произведением применение, имеем: последовательное их т. е. произведение есть “единица”, не меняющая функцию.
Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов.
Непосредственное вычисление как предела интегральной суммы столкнулось с многими трудностями. Естественно, что это обстоятельство укреплению точки зрения Лейбница не способствовало.
РОЛЬ ЛЕЙБНИЦА В РАСПРОСТРАНЕНИИ ИДЕЙ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Основной заслугой Лейбница в области математики является создание (вместе с И. Ньютоном) дифференциального и интегрального исчисления. В систематических очерках дифференциального (опубликовано 1684) и интегрального (опубликовано 1686) дал определение дифференциала и интеграла, ввел знаки d и ⌠. Привел правила дифференцирования суммы, произведения, частного, любой постоянной степени, функции от функции (инвариантности 1 -го дифференциала), правило поиска экстремумов и точек перегиба (с помощью 2 -го дифференциала). Лейбниц показал взаимно-обратный характер дифференцирования и интегрирования. Наряду с Гюйгенсом и Я. И. Бернулли в работах 1686 -9. В 1695 он вывел формулу для многократного дифференцирования произведения, получившую его имя. В 1702 -03 вывел правила дифференцирования важнейших трансцендентных функций, положившие начало интегрированию рациональных дробей.
В 1864 году в «Acta eruditorum» появилась первая статья Лейбница с изложением основ нового исчисления. Статья, о которой идет речь, отличается крайне сжатым изложением.
Лейбниц предлагает чертеж: Ось абсцисс X направлена вертикально, функция изображается кривой v. Дифференциал независимого переменного представлен отрезком произвольной длины dx. Из чертежа непосредственно получается пропорция:
Далее Лейбниц говорит: «Если установить это, то правила исчисления будут следующими» . И перечисляет несколько правил дифференцирования: d. C = 0; d(ax) = adx d(z — у + w + x) = dz - dy+ dw +dx; d (vх) = v dx + xdv и т. д. Лейбниц обращает внимание читателя на точку М. Здесь, функция не возрастает и не убывает. В этой точке dv = О, а касательная параллельна оси (абсцисс). Если в какой-нибудь точке то в этой точке касательная перпендикулярна к оси абсцисс.
Задача: «Требуется найти линию ww, обладающую такой природой, что если wc есть проведенная к оси касательная, то Хс всегда равно постоянному отрезку а» .
w/a — dw/dx, полагая dx= b = const, имеем w= dw. если w пропорционально dw, то w образует Геометрическую прогрессию, когда х арифметическую, а втаком случае х есть логарифм w. Следовательно, ww есть логарифмическая кривая. Задача решена.
Разработка «суммирующего» или «сумматорного» исчисления шла одновременно с продвижением в области дифференциального исчисления и его приложений. Уже в 1686 г. Лейбниц публикует в «Acta eruditorum» статью об этом исчислении.
Задача, которую он решает в этой работе, очень проста, но тем не менее для старых методов или, как их называл Лейбниц, для доныне опубликованных методов, была непосильной. Можно ее сформулировать так: дана поднормаль кривой как заданная функция независимого переменного, найти эту кривую.
Лейбниц решает задачу следующим образом. Он рассматривает два треугольника: один — составленный из поднормали р, ординаты у и нормали, второй — составленный из дифференциалов dy, dx и ds. Из подобия треугольников получает равенство pdx = ydy. Далее он говорит: «. . . и если обратить дифференциальное уравнение в суммирующее, то будет » .
Способ, используемый Лейбницем для получения окончательного результата, заслуживает не меньшего внимания. О выражении автор говорит: так как , то , потому что «у нас суммы и разности или и так же взаимно обратны, как степени и корни в обыкновенном исчислении» . Таким образом устанавливается взаимная обратность обоих исчислений.
СРАВНИТЕЛЬНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ПОДХОДОВ К ИНТЕГРАЛЬНОМУ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЯМ НЬЮТОНА, ЛЕЙБНИЦА
НЬЮТОН
где N - целая часть, а a 1, a 2, . . . an, . . . могут принимать одно из значений 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. По аналогии с таким представлением чисел Ньютон предположил, что любая функция от x, например , может быть представлена как бесконечный многочлен или ряд, расположенный уже не по степеням , а по степеням x:
где a 1, a 2, . . . an, . . . - коэффициенты, которые каждый раз должны быть определены. Примером такого ряда может служить известная нам геометрическая прогрессия:
Лейбниц и его последователи - братья Бернулли, Лопиталь и другие - трактовали дифференциалы как бесконечно малые разности обычных конечных величин, как тогда говорили - “реальных” величин “низшей” математики. Поэтому они обращались с теми и другими одинаково и в исчислении применяли к первым те же приемы, которые справедливы при действиях со вторыми. Вместе с тем выяснилось, что таким образом трактуемым бесконечно малым присуще свойство, противоречащее одному основному свойству основных конечных величин: если А — конечная величина, а — бесконечно малая, то, чтобы результат исчисления получался совершенно точным, оказалось необходимым проводить вычисления в предположении, что А+ =А.
Ньютон и Лейбниц разработали две трактовки понятия обычного определенного интеграла. Ньютон трактовал определенный интеграл как разность соответствующих значений первообразной функции: где F`(x)=f(x). Для Лейбница определенный интеграл был суммой всех бесконечно малых дифференциалов. Первая трактовка отвечала технике вычисления определенных интегралов при помощи первообразной подынтегральной функции, вторая - потому, что в приложениях определенный интеграл появлялся как предел известного вида суммы (интегральной суммы).
