Ларионов В.В. Тема: КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА Введение

Ларионов В.В. Тема: КЛАССИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА Введение 1. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона 2. Второй закон Ньютона. Основные понятия 3. Третий закон Ньютона Ларионов В.В. Сегодня: понедельник, 11 декабря 2017 г.

Глава 2. Динамические принципы механики. ЗАКОНЫ НЬЮТОНА 2.1. Введение Динамика (от греческого dynamis  сила) – раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил. В основе классической динамики лежат законы Ньютона, из которых получаются все уравнения и теоремы, необходимые для решения задач динамики. Как и другие принципы, лежащие в основе физики, они являются обобщением опытных фактов.

2.2. Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона

2.3. Второй закон Ньютона. Основные понятия

2 закон Ньютона в обобщенном виде Записывается следующим образом: где справа векторная сумма всех действующих на тело (частицу) сил. Или Или с учетом зависимости массы от скорости

При движении с малыми скоростями (классическая механика) v<

Виды сил и движений Рассмотрим более подробно функцию F(r,V). Причем у величин r ,V могут быть разные степени от 1 до n. Например, сила гравитации, сила Кулона обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими телами, а сила трения пропорциональна скорости V. Сила упругости пропорциональна растяжению пружины (в рамках закона Гука).

Поэтому уравнения движения могут иметь разнообразный вид и в зависимости от этого получают разные виды движения. Например в гравитационном или кулоновском поле уравнение имеет вид:

В случае взаимодействия заряженных частиц правая часть уравнения – это сила Кулона и вместо масс m, m1 записываем заряды q1 ,q2 . Далее замечаем следующее. Функцию запишем таким образом: Если взять производную , то получим выражение:

Аналогичные производные найдем по координатам y ,z, и умножим каждое слагаемое на орты i, j, k. В результате получаем формулы (1): Например, для двух зарядов q1,q2 (2),

Формулы (1) сложим, предварительно умножив на одну и ту же величину

Справа – сила, например, для z и аналогично для других координат: В скобках слева стоит функция U. Из курса средней школы знаем, что это не что иное как потенциальная энергия взаимодействия двух зарядов.

Полученное соотношение носит название «Связь между силой и потенциальной энергией». Таким образом, чтобы найти силу, действующую на частицу в потенциальном поле необходимо продифференцировать по координате формулу для потенциальной энергии и приписать знак «минус».

Понятие градиента Для краткости и общности вводится понятие градиента. По определению это вектор, равный по величине скорости изменения функции и направленный в сторону ее наибольшего возрастания. Или для нашего случая

Как изменяется характер движения при изменении функции F(r,v) Если сила постоянная, то имеем ускоренное движение, параметры которого определяем, решая обратную задачу кинематики, когда ускорение a равно F/m или a=dV/dt. Отсюда dV=(F/m)dt, m = const. Интегрируя это уравнение, находим скорость, при последующем интегрировании находим координаты x,y,z соответственно,т.е. траекторию движения (прямая, парабола и т.д).

Если сила пропорциональна смещению (например, сила упругости), то получаем колебательное движение. Рассмотрим частный случай одномерного движения, которое происходит под действием квазиупругой силы F= -kx, где х – изменение длины пружины (r=x). Уравнение движения имеет следующий вид: С учетом сил трения Fтр = - r V, где

Это дифференциальное уравнение 2-го порядка, однородное. Его решение известно из курса средней школы и имеет вид (это уравнение колебательного движения): А- амплитуда колебаний, ω0 - циклическая частота, φ-начальная фаза.

Фазовый портрет гармонических колебаний

Фазовый портрет при наличии затухания

Если сила нелинейно зависит от х, движение становится нелинейным Например, Нелинейным может быть сопротивление, сила трения

Примеры нелинейных функций Графики для сил Примеры возникновения сил

Фазовый портрет нелинейных колебаний

2.4. Третий закон Ньютона

Закон сохранения импульса Если 3-ий закон Ньютона постулировать, то из него, как следствие, можно получить закон сохранения импульса. Если постулировать однородность пространства, то получим закон сохранения импульса. Пусть имеем замкнутую систему тел 1 и 2.

Запишем третий закон Ньютона. С учетом 2-го закона, имеем: Тогда: Или

Т.е. после интегрирования, получаем: В замкнутой системе двух тел их импульс есть величина постоянная. Этот результат может быть распространен на любое число N тел

Лекция продолжается

r2 = r1 + vt