Лабораторная работа № 2 Тема: Приближенное решение алгебраических уравнений
1. Отделение корней Рассмотрим уравнение , (1) где определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном интервале. Всякое значение , обращающее функцию в нуль, т. е. такое, что , называется корнем уравнения (1) или нулем функции. Теорема 1. Если непрерывная функция принимает значения разных знаков на концах отрезка , т. е. , то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения (1). Корень заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала. Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках области ее существования. Затем определяют знаки функции в ряде промежуточных точек. 2
Пример 1. Отделить корни уравнения Решение. Составим следующую таблицу: . Таким образом, уравнение имеет три действительных корня, лежащих в интервалах. 3
Если существует непрерывная производная и корни уравнения легко вычисляются, то для отделения корней уравнения (1) достаточно подсчитать знаки функции в точках нулей ее производной и в граничных точках. Пример 2. Отделить корни уравнения Решение. . при . . Определим знаки функции: Следовательно, уравнение имеет три действительных корня, которые лежат в интервалах: . 4
2. Оценка погрешности приближенного корня Теорема 2. Пусть – точный, а – приближенный корни уравнения (1), находящиеся на отрезке , причем при. В данном случае справедлива оценка: (2) Замечание 1. За можно взять наименьшее значение при . Замечание 2. Чтобы формула (2) давала более точные результаты, обычно сужают общий интервал , содержащий корень и его приближенное значение , и полагают. 5
Пример 3. Найти приближенный корень уравнения. Оценить абсолютную погрешность этого корня. Решение. Определим границы, в которых лежит точный корень. Построим график на отрезке. Уточним границы: Таблица 1 Таблица 2 Следовательно, точный корень лежит в интервале. Производная монотонно возрастает на этом промежутке. Поэтому ее наименьшим значением является. По формуле (2) получим 6
3. Методы уточнения приближенного корня 3. 1. Метод хорд Рассмотрим более быстрый способ нахождения корня уравнения , лежащего на заданном отрезке , таком, что. Предполагаем, что непрерывна на. Пусть для определенности и. Тогда более рационально разделить отрезок в отношении. Это дает приближенное значение корня (3) где (4) Далее, применяя этот метод к тому из отрезков или , на концах которого функция имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня и т. д. 7
Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой хордой, проходящей через точки и. Условия применения метода хорд: предполагается, что корень отделен, и вторая производная сохранят постоянный знак на отрезке. Пусть при. Кривая выпукла вниз и расположена ниже своей хорды. Возможны два случая: 1) (рис. 2). В данном случае конец неподвижен и последовательные приближения ; (5) образуют ограниченную монотонно убывающую последовательность, причем. 8
2) (рис. 3). В данном случае неподвижен конец , а последовательные приближения ; (6) образуют ограниченную монотонно возрастающую последовательность, причем . 9
Пример 4. Найти положительный корень уравнения с точностью до. Решение. Отделим корни. Построим график этой функции на отрезке (рис. 4). (www. yotx. ru) Рис. 4 10
Сузим интервал. Так корень лежит в интервале. и. Так как , то искомый , то Реализация численного алгоритма в MS Excel Таблица 3 функция Рис. 5. Графическая реализация: на интервале . 11
Применим метод хорд к отрезку. Так как. Последовательно применим формулы (5) и (6): Оценим погрешность корня Построим график функции - функция возрастающая. Следовательно, , то по формуле на интервале Приближенная погрешность: 12
Реализация метода хорд в MS Excel. Таблица 4 13
3. 2. Метод Ньютона Пусть – корень уравнения (1) отделен на отрезке , причем и непрерывны и сохраняют определенные знаки при. - --ое приближенное значение корня Уточнение корня осуществляется по методу Ньютона: (7) где Тогда, (8) 14
Теорема 3. Если , причем и отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при , то, исходя из начального приближения , удовлетворяющего неравенству , можно вычислить методом Ньютона (формула (8)) единственный корень уравнения (1) с любой степенью точности. Замечание. При использовании метода Ньютона в качестве точки выбирается тот конец интервала , которому отвечает ордината того же знака, что и знак. Для оценки погрешности -го приближения корня воспользоваться общей формулой (2): можно 15
Пример 5. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения с -ю верными знаками. Решение. Определим интервал, в котором находится корень. Реализация численного алгоритма в MS Excel Графический способ нахождения интервала Таблица 5 16
Следовательно, искомый корень находится в интервале. Сузим найденный интервал: , т. е. . Так как и , то за начальное приближение можно принять. Реализация численного алгоритма в MS Excel Графический способ нахождения интервала Таблица 6 17
В интервале и . (рис. 10, 11). 18
Останавливаясь на , проверяем знак значения. Так как , то , и любое из этих чисел дает искомое приближение. Реализация последовательных приближений в MS Excel. Таблица 7 19
Задание № 2 Тема: Приближенное решение алгебраических уравнений 1. Отделить корни уравнения (графически или аналитически), найти отрезок, на котором лежит один из корней. 2. Найти отличный от нуля корень уравнения с четырьмя верными знаками после запятой методом хорд и методом Ньютона. 20
Скачать презентацию Лабораторная работа 2 Тема Приближенное решение алгебраических
Выч Мат Лаб_2.ppt