ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать нелинейные уравнения методом простых итераций, методом Ньютона и модифицированным методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить метод простых итераций, метод Ньютона и модифицированный метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения нелинейных Уравнений указанными методами на ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования и с ее помощью решить уравнение (1) с точностью 5. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Задание на лабораторную работу. 1. Доказать графическим и аналитическим методами существование единственного корня нелинейного уравнения на отрезке 2. Построить рабочие формулы по методу простых итераций, методу Ньютона и модифицированному методу Ньютона, реализующие процесс поиска корня нелинейного уравнения (1) на отрезке. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. Нелинейное уравнение: Отрезок: Прежде, чем приступить к построению итерационных формул, нужно убедиться, что нелинейное уравнение (1) имеет на отрезке (2) имеет единственный корень. 1. Графический метод. Представим исходное уравнение в виде:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. 2. Аналитический метод. а) Функция на концах отрезка должна менять знак: б) Производная на отрезке должна сохранять знак: Вывод: нелинейное уравнение (1) имеет на отрезке (2) единственный корень.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. 3. Метод простых итераций. а) Так как то б) Выбираем любую точку из отрезка: в) Итерационная формула: г) Выбор начального приближения: 4. Метод Ньютона. а) Выбор начального приближения:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. б) Итерационная формула: 5. Модифицированный метод Ньютона. а) Выбор начального приближения: б) Итерационная формула: Ценный совет: для того, чтобы оценить скорость сходимости всех трех методов, необходимо выбрать одинаковое начальное приближение.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Блок-схема итерационных методов решения нелинейных уравнений. 1. Задать параметры метода: 2. Вычислить очередное приближение: 3. Проверить условия окончания процесса: да 4. Обновить начальное приближение и 5. Распечатать приближенное значение корня нет 6. Останов
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример программы на языке Pascal. Program Pr_iter; Uses Crt; var n: integer; x 0, x, eps, d, y, z, c: real; begin clrscr; n: =0; x 0: =-1; c: =-0. 1; x: =x 0; eps: =0. 001; d: =0. 01; repeat y: =x+c*(exp(x)+x); z: =x; writeln(n: 3, x: 9: 5, y: 9: 5, abs(y-x): 9: 5, abs(exp(y)+y): 9: 5); x: =y; n: =n+1; until (abs(z-x)<=eps) and (abs(exp(x)+x)<=d); end.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример программы на языке C. #include <stdio. h> #include <math. h> #include <conio. h> main() { int n=0; float x, y, z, x 0=-1, c=-0. 1, eps=0. 001; d=0. 01; x=x 0; clrscr(); do { y=x+c*(exp(x)+x); z=x; printf(“%d %. 4 fn”, n++, x, y, fabs(y-x), fabs(exp(y)+y)); x=y; } while(fabs(z-x)>e || fabs(exp(x)+x)>d; getch(); }
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Порядок выполнения работы. 1. Определить количество корней исходного нелинейного уравнения (1) графическим методом и построить график. 2. Доказать аналитическим методом единственность корня уравнения (1) на отрезке (2). 3. Записать итерационные формулы, реализующие процесс поиска корня на отрезке методом простых итераций, методом Ньютона и его модификации.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Порядок выполнения работы. 4. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы, используя алгоритм. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде таблицы: 5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Сделать выводы. 7. Составить отчет о проделанной работе (номер и название работы; цель и содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы; листинг программы; таблицы результатов; выводы о проделанной работе).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1 -2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Нелинейное уравнение Отрезок №вар 1 12 2 13 3 14 4 15 5 16 6 17 7 18 8 19 9 20 10 21 11 Нелинейное уравнение Отрезок
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какое уравнение называется нелинейным? 2. Что называется решением нелинейного уравнения? 3. Когда возникает задача приближенного решения нелинейных уравнений? 4. Что называется приближенным решением нелинейного уравнения? 5. Назовите основные этапы решения нелинейных уравнений. 6. В чем состоит этап отделения корней нелинейных уравнений? 7. В чем состоит этап уточнения корней нелинейных уравнений? 8. В чем состоит графический метод? 9. В чем состоит аналитический метод? 10. Сформулируйте теорему о существовании хотя бы одного корня нелинейного уравнения на отрезке. 11. Сформулируйте теорему о существовании единственного корня нелинейного уравнения на отрезке. 12. Сформулируйте постановку задачи метода простых итераций. 13. Сформулируйте основную идею метода простых итераций. 14. Запишите итерационную формулу метода простых итераций. 15. Как выбирается начальное приближение в методе простых итераций. 16. Приведите геометрическую интерпретацию метода простых итераций (случай «лестница» ). 17. Приведите геометрическую интерпретацию метода простых итераций (случай «спираль» ). 18. Приведите геометрическую интерпретацию метода простых итераций в случае расходящегося итерационного процесса. 19. Сформулируйте теорему о достаточных условиях сходимости метода простых итераций. 20. Покажите процесс приведения нелинейного уравнения к виду, допускающему сходящиеся итерации.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 21. Запишите условия окончания итерационного процесса по методу простых итераций. 22. Почему условия окончания итерационного процесса по методу простых итераций должны выполняться одновременно? 23. Сформулируйте достоинства и недостатки метода простых итераций. 24. Сформулируйте постановку задачи метода Ньютона. 25. Запишите рабочую формулу метода Ньютона. 26. В чем состоит геометрический смысл метода Ньютона? 27. Сформулируйте теорему о сходимости метода Ньютона. 28. Запишите достаточное условие сходимости метода Ньютона. 29. Как выбирается начальное приближение в методе Ньютона? 30. В каком случае метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций? 31. Сформулируйте достоинства и недостатки метода Ньютона. 32. Сформулируйте постановку задачи модифицированного метода Ньютона. 33. Запишите рабочую формулу модифицированного метода Ньютона. 34. В чем состоит геометрический смысл модифицированного Метода Ньютона? 35. Запишите условия окончания итерационных процессов по Методу Ньютона и его модификации.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать системы нелинейных уравнений методом простых итераций и методом Ньютона с помощью ЭВМ. Содержание работы: Изучить метод простых итераций и метод Ньютона для решения систем нелинейных уравнений. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения систем нелинейных уравнений указанными методами на ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования и с ее помощью решить систему уравнений с точностью 1. 2. 4. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Задание на лабораторную работу. 1. Решить аналитически систему нелинейных уравнений второго порядка: 2. Построить рабочие формулы по методу простых итераций и методу Ньютона, для численного решения системы (1) при начальном приближении 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРИЯ МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ Вид, допускающий сходящиеся итерации: где: Достаточные условия сходимости:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРИЯ СЛАУ для определения неизвестных Условия окончания процесса (3):
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ТЕОРИЯ МЕТОД НЬЮТОНА Итерационная формула: (5) где Условия окончания процесса (5):
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. 1. Аналитическое решение СНУ (1): (2, 3) и (3, 2). МЕТОД ПРОСТЫХ ИТЕРАЦИЙ 2. Найдем частные производные и вычислим их при начальном приближении (2): 3. Решим СЛАУ (4) относительно неизвестных
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. 4. Получим: 5. Итерационные формулы (3): МЕТОД НЬЮТОНА 6. Матрица частных производных:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Пример выполнения лабораторной работы. 7. Определитель матрицы: 8. Обратная матрица: 9. Итерационные формулы (5):
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Блок-схема итерационных методов решения систем нелинейных уравнений. 1. Задать параметры метода: 2. Вычислить очередное приближение: 3. Проверить условия окончания процесса: да 4. Обновить приближение начальное 5. Распечатать приближенное значение решения нет 6. Останов
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Порядок выполнения работы. 4. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы, используя алгоритм. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде таблицы: 5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Сделать выводы. 7. Составить отчет о проделанной работе (номер и название работы; цель и содержание работы; задание на работу; теоретическую часть работы; листинг программы; таблицы результатов; выводы о проделанной работе).
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Система нелинейных уравнений Начальное приближение №вар 1 6 2 7 3 8 4 9 5 10 Система нелинейных уравнений Начальное приближение
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3 -4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Система нелинейных уравнений Начальное приближение №вар 11 17 12 18 13 19 14 20 15 21 16 Система нелинейных уравнений Начальное приближение
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие системы называются нелинейными? 2. Запишите постановку задачи для метода простых итераций. 3. Запишите итерационные формулы метода простых итераций. 4. Как и из какой области выбирается начальное приближение для метода простых итераций? 5. Запишите достаточные условия сходимости для метода простых итераций. 6. Приведите один из способов приведения системы нелинейных уравнений к виду, допускающему сходящиеся итерации. 7. Запишите условия окончания итерационного процесса по методу простых итераций. 8. Приведите достоинства и недостатки метода простых итераций. 9. В чем заключается трудоемкость метода простых итераций? 10. Запишите постановку задачи для метода Ньютона.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 11. Как и из какой области выбирается начальное приближение для метода Ньютона? 12. Запишите рабочую формулу метода Ньютона. 13. Запишите условия окончания итерационного процесса по методу Ньютона. 14. Приведите достоинства и недостатки метода Ньютона. 15. В каком случае метод Ньютона является частным случаем метода простых итераций? 16. Запишите постановку задачи для модифицированного метода Ньютона. 17. Как и из какой области выбирается начальное приближение для модифицированного метода Ньютона? 18. Запишите рабочую формулу модифицированного метода Ньютона. 19. Запишите условия окончания итерационного процесса по модифицированному методу Ньютона. 20. Приведите достоинства и недостатки модифицированного метода Ньютона.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом простых итераций и методом Зейделя с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить метод простых итераций и метод Зейделя для решения СЛАУ. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения СЛАУ указанными методами на ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования и с ее помощью решить СЛАУ с точностью Сравнить скорости сходимости метода простых итераций и метода Зейделя. 4. Изменить и снова решить задачу. Сделать вывод о влиянии точности на количество итераций. 5. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Задание на лабораторную работу. 1. Решить аналитически СЛАУ третьего порядка: 2. Построить рабочие формулы по методу простых итераций и методу Зейделя, для численного решения системы (1). 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Порядок выполнения работы. 1. Определить аналитическое решение СЛАУ. 2. Если СЛАУ не является системой с преобладающими диагональными коэффициентами, то элементарными преобразованиями приведем ее к этому виду. 3. Построить итерационные формулы, реализующие процесс поиска решения СЛАУ (1) по методу простых итераций и методу Зейделя. 4. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные итерационные процессы. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итерации в виде таблицы: 5. Провести вычислительные эксперименты. 6. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 1. Аналитическое решение СЛАУ (1): 2. Итерационные формулы метода простых итераций: 3. Итерационные формулы метода Зейделя:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. 4. Выбор начального приближения: 5. Условия окончания итерационных процессов:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Блок-схема итерационных методов решения СЛАУ. 1. Задать параметры метода: 2. Вычислить очередное приближение: 3. Проверить условия окончания процесса: 4. Обновить приближение начальное да 5. Распечатать приближенное значение решения нет 6. Останов
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Система линейных алгебраических уравнений №вар 1 4 7 2 5 8 3 6 9 Система линейных алгебраических уравнений
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Система линейных алгебраических уравнений №вар 10 13 16 11 14 17 12 15 18 Система линейных алгебраических уравнений
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Система линейных алгебраических уравнений №вар 19 20 21 Система линейных алгебраических уравнений
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие системы называются линейными? 2. Какие точные методы решения СЛАУ Вы знаете? 3. В чем состоит преимущество численных методов перед точными? 4. Сформулируйте постановку задачи для приближенного решения СЛАУ. 5. Приведите процесс приведения СЛАУ к виду, допускающему сходящиеся итерации. 6. Каким образом выбирается начальное приближение в методе простых итераций? 7. Запишите итерационные формулы по методу простых итераций. 8. Сформулируйте теорему о достаточных условиях сходимости метода простых итераций. 9. Сформулируйте теорему о необходимых и достаточных условиях сходимости метода простых итераций. 10. Каким образом выбирается начальное приближение в методе Зейделя? 11. Запишите итерационные формулы по методу Зейделя. 12. Запишите условия окончания итерационных процессов по методу простых итераций и методу Зейделя.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. Цель работы: научиться строить интерполяционные и аппроксимационные полиномы по заданной системе точек с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить принципы построения интерполяционной формулы Лагранжа, первой и второй интерполяционной формулы Ньютона и аппроксимационного полинома. 2. На конкретном примере усвоить порядок построения указанных полиномов с помощью ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую Процесс построения указанных полиномов второго порядка для системы из трех равноотстоящих узловых точек. 4. Сделать вывод о точности построения полиномов. 5. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. Задание на лабораторную работу. 1. Составить таблицу значений экспериментальной функции с точностью для равноотстоящей системы из трех узловых точек на отрезке из области допустимых значений функции, где 2. По сформированной системе точек построить интерполяционную формулу Лагранжа, первую и вторую интерполяционные формулы Ньютона и аппроксимационный полином второго порядка. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов для заданной системы точек.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. 1. Таблица значений функции из трех узловых точек с точностью , для равноотстоящей системы на отрезке 2. Интерполяционный полином Лагранжа второго порядка: где коэффициенты вычисляются по формулам вида: Интерполяционный полином Лагранжа второго порядка: где имеет вид:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. 3. Первая интерполяционная формула Ньютона второго порядка: Величины , называются конечными разностями первого и и второго порядка, соответственно, . 4. Вторая интерполяционная формула Ньютона второго порядка: где , .
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. 5. Аппроксимационный полином второго порядка: Вычислим суммы: и решить СЛАУ: (1) Система (1): (2) Тогда: Искомый аппроксимационный полином второго порядка:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ. 1. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс построения указанных полиномов: 1. 1. Сформировать таблицу значений экспериментальной функции. 1. 2. Вычислить значения коэффициентов интерполяционной формулы Лагранжа и записать полином. 1. 3. Вычислить значения конечных разностей первого и второго порядков для построения первой и второй интерполяционной формулы Ньютона и записать полиномы. 1. 4. Для построения аппроксимационного полинома второго порядка вычислить необходимые суммы, сформировать СЛАУ (1) и записать полином. 1. 5. Осуществить процесс табулирования четырех полиномов и экспериментальной функции при с одинаковым шагом табулирования. 2. Провести вычислительные эксперименты. 3. Построить графики всех приведенных в таблице функций. 4. Составить отчет о проделанной работе: номер и название лабораторной работе, цель работы, содержание работы, задание на работу, теоретическую часть работы, графики, листинг программы, таблицы результатов, выводы о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6 -7. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Функция №вар 1 8 15 2 9 16 3 10 17 4 11 18 5 12 19 6 13 20 7 14 21 Функция
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется конечной разностью? 2. Что называется обобщенной степенью числа? 3. Запишите формулу, по которой вычисляется первая конечная разность n-й обобщенной степени. 4. В чем суть задачи интерполирования? 5. Что называется интерполированием и экстраполированием функции? 6. Какие интерполяционные формулы используются для равноотстоящих узлов? 7. Запишите первую интерполяционную формулу Ньютона. 8. Для интерполирования в окрестности какой точки используется первая интерполяционная формула Ньютона? 9. Чему равна погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона? 10. Для каких узлов используется вторая интерполяционная формула Ньютона?
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 11. Для интерполирования в окрестности какой точки используется вторая интерполяционная формула Ньютона? 12. Запишите вид полинома, используемого для получения второй интерполяционной формулы Ньютона. 13. Чему равны коэффициенты второй интерполяционной формулы Ньютона? 14. Запишите вторую интерполяционную формулу Ньютона. 15. Чему равна погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона? 16. Для каких узлов используется интерполяционная формула Лагранжа? 17. Запишите интерполяционную формулу Лагранжа. 18. Какая оценка погрешности справедлива для интерполяционной формулы Лагранжа? 19. В каких случаях возникает задача аппроксимации? 20. В чем суть метода наименьших квадратов?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕНРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Цель работы: научиться решать обыкновенные дифференциальные Уравнения (ОДУ) методом Эйлера и методом Рунге-Кутта с помощью ЭВМ. Содержание работы: 1. Изучить методы Эйлера и Рунге-Кутта для приближенного решения ОДУ. 2. На конкретном примере усвоить порядок решения ОДУ указанными методами с помощью ЭВМ. 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую процесс приближенного решения ОДУ указанными методами. 4. Сделать вывод о точности используемых методов. 5. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. 1. Решить аналитически задачу Коши вида: (1) (2) 2. Построить рабочие формулы по методу Эйлера и методу Рунге-Кутта 4 -го порядка точности для численного решения уравнения (1) при начальном условии (2) на отрезке 3. Составить программу на любом языке программирования, реализующую построенные процессы.
РЕШЕНИЕ 1. ОДУ (1) является ОДУ с разделяющимися переменными. Аналитическое решение: , где определяется из начального условия (2): задачи Коши (1), (2): . Решение . 2. Для построения рабочих формул методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка точности разделим отрезок (3) на точек равных частей и сформируем систему равноотстоящих , где , шаг интегрирования 3. Рабочая формула метода Эйлера: . Для поставленной задачи данная формула запишется так: (4) .
РЕШЕНИЕ 4. Для вычислений по методу Рунге-Кутта 4 порядка необходимо предварительно вычислить 4 коэффициента: а рабочая формула имеет вид: (5) Коэффициенты: (6)
РЕШЕНИЕ 5. Блок-схема: 1. Задать параметры метода: . 1. Задать параметры метода 2. 2. Вычислитьочередное приближение по формулам или (5) и (6)). Вычислить и по формулам (4) ((5) и (6). 3. 3. Проверить условие окончание процесса: Проверить условие окончания процесса: . 4. 4. Распечатать значения Распечатать приближенное значение. нет да да 6. 6. Останов 5. Обновить начальное приближение , и. 5. Обновить начальное значение Рис. 1 6. Содержание отчета (номер и название лабораторной работы; цель работы; содержание работы; задание на работу; теоретическая часть работы; листинг программы; таблица результатов; графики; выводы о проделанной работе).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ 1. Аналитически решить задачу Коши (1), (2). 2. Записать рабочие формулы методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка точности для приближенного решения сформулированной задачи на отрезке (3). 3. Составить программу, реализующую процесс приближенного решения задачи Коши указанными методами. Печать результатов должна осуществляться на каждом шаге итераций в виде следующей таблицы: 4. Провести вычисления при . 5. Построить графики точного решения и двух приближенных методов. 6. Составить отчет о проделанной работе.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Задача Коши Отрезок №вар 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 Задача Коши Отрезок
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Варианты индивидуальных заданий. №вар Задача Коши Отрезок №вар 13 18 14 19 15 20 16 21 17 Задача Коши Отрезок
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Какие уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями? 2. Когда возникает задача приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем? 3. Какие методы приближенного решения обыкновенных дифференциальных уравнений Вы знаете? 4. Сформулируйте постановку задачи для метода Эйлера. 5. Как выбирается шаг в методе Эйлера? 6. Запишите формулу Эйлера. 7. Какую погрешность имеет метод Эйлера? 8. Назовите достоинства и недостатки метода Эйлера.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 9. Сформулируйте постановку задачи для метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. 10. Запишите итерационную формулу метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. 11. Какую погрешность имеют формулы метода Рунге-Кутта четвертого порядка точности. 12. Запишите итерационную формулу метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Какова ее погрешность? 13. Как определяется правильность выбора шага в методе Рунге-Кутта? 14. Назовите достоинства и недостатки метода Рунге-Кутта.
Скачать презентацию ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1 -2 ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Презентация по ВМ (лабы).ppt