Л 9 Аксонометрическая центральная и стереографическая проекции

Л. 9. Аксонометрическая, центральная и стереографическая проекции

Аксонометрия. • Метод изображения, называемый аксонометрией, применяется в первую очередь для построения наглядных чертежей. Суть его в следующем: изображаемый объект располагают в некоторой системе координат и с помощью параллельных лучей проектируют на некоторую плоскость.

• Геометрическое обоснование этого метода дается теоремой Польке, согласно которой три отрезка на плоскости, выходящие из одной точки всегда могут рассматриваться как параллельные проекции на эту плоскость трех ребер некоторого куба. На чертежах, построенных по методу Монжа или с помощью аксонометрии, сохраняются параллельность прямых и отношения пропорциональности (отношение отрезков, лежащих на одной прямой, например, деление пополам);

• плоская фигура и ее проекция могут быть переведены друг в друга при помощи аффинных преобразований, поэтому проекцией окружности, например, является эллипс. Проекции, построенные по методу Монжа, дают, как правило, лучшее представление о размерах объекта; за счет этого аксонометрия является более наглядной

Изображение пирамиды и цилиндра по методу Монжа и с помощью аксонометрии

Центральная проекция

• В случае центральной проекции обычно не сохраняются ни свойство параллельности, ни отношения пропорциональности. Центральная проекция является, например, геометрической основой фотографического изображения; существуют методы, позволяющие на основе фотографического снимка установить метрические свойства объекта (этим занимается фотограмметрия).

• Центральную проекцию называют также перспективой; перспективы параллельных прямых сходятся в одной точке, • называемой точкой схода. Перспек тивой окружности может оказаться любое плоское сечение конуса. Обратно: всякое плоское сечение конуса может быть получено как центральная проекция окружности.

• Отсюда следует, что всякое плоское сечение конуса может быть получено в результате сечения некоторой плоскостью конуса вращения; всякое такое сечение можно рассматривать как центральную проекцию направляющей конуса вращения, то есть окружности. Свойства центральных проекций (как правило, двух; с разными точками схода) широко используются в аэрофотосъемке и в ядерной физике ( «следы» треков частиц в пузырьковой камере и т. д. ).

Стереографическая проекция • Стереографическая проекция является специальным видом центральной проекции ; в этом случае поверхность шара проектируется из некоторой точки на шаре. Плоскость проекций должна быть параллельной плоскости, касательной к шару в точке, являющейся центром проекции.

Проекция сети географических координат. Центр лежит на экваторе

• Этот метод проекции используется в первую очередь при изготовлении географических карт. Большое удобство представляет собой тот факт, что при стереографической проекции образами сферических окружностей являются окружности (или прямые). Кроме того эта проекция сохраняет углы между кривыми шаровой поверхности.

• Этим и объясняется тот факт, что на географических картах, изготовленных с помощью стереографической проекции окружности, сети координат (параллели и меридианы) изображаются дугами окружностей.