Л 7 Закон сохранения момента импульса момент

Л 7 Закон сохранения момента импульса – момент импульса замкнутой системы тел относительно любой неподвижной точки не изменяется с течением времени. Это один из фундаментальных законов природы. Аналогично для замкнутой системы вращающихся вокруг оси z: отсюда или 1

Если момент внешних сил относительно неподвижной оси вращения тождественно равен нулю, то момент импульса относительно этой оси не изменяется в процессе движения. Кинетическая энергия вращающегося тела Кинетическая энергия – величина аддитивная, поэтому кинетическая энергия тела, движущегося произвольным образом, равна сумме кинетических энергий всех n материальных точек, на которое это тело можно мысленно разбить: 2

Если тело вращается вокруг неподвижной оси z с угловой скоростью то линейная скорость iй точки Следовательно, Таким образом, момент инерции тела I – является мерой инертности при вращательном движении. Так же как масса m – мера инерции при поступательном движении. 3

В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы двух движений – поступательного со скоростью с и вращательного с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр инерции. Тогда полная кинетическая энергия этого тела: Здесь Ic – момент инерции относительно мгновенной оси вращения, проходящей через центр инерции. 4

Скорость центра масс обруча равна v, масса обруча m. Определим его кинетическую энергию при движении по горизонтальной поверхности. Имеем Kполн = + , – линейная скорость обода в системе ц. м. Для наблюдателя, движущегося вместе с центром обруча, скорость точки соприкосновения обруча с плоскостью равна v. Поэтому = v. Таким образом, Kполн = + = mv 2. 5

Теорема Штейнера В некоторых случаях нахождение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: Z' Z центр масс a ρ'i mi где момент инерции тела относительно оси Z', ρi M проходящей через центр масс Теорема Штейнера Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно данной и момента инерции материальной точки с массой всего тела относительно выбранной оси 6

Аналогия уравнений поступательного вращательного движения Формулы кинематики и динамики вращательного движения легко запоминаются, если сопоставить их с формулами поступательного движения 7

Поступательное движение Вращательное движение 8

9

Работа и энергия 10

Работа если каждой точке пространства поставлено в соответствие определенное значение физической величины - говорят, что задано физическое поле, движение материальной точки в силовом поле: 2 если за элементарное время dt точка, под действием силы F, совершает элементарное перемещение dr, то сила совершает работу по перемещению тела при произвольном перемещении, например от точки 1 до точки 2 работа равна сумме элементарных работ F F F Силовое поле F L 1 11

Теорема о кинетической энергии если под действием силы F элементарное перемещение точки - dr, то элементарная работа 2 - кинетическая F энергия тела F F Таким образом получаем теорему о кинетической энергии для элементарных перемещений F L 1 На произвольном перемещении Элементарная работа, совершенная над телом, равна дифференциалу кинетической энергии тела Работа по перемещению тела между любыми двумя точками пространства равна разности кинетических энергий тела в конечной и начальной точках 12

Потенциальные поля Рассмотрим элементарное перемещение dr тела под действием внешних сил Будем считать, что силы, действующие на тело при его движении, в любой точке пространства удовлетворяют условию F F F 1 L F где Φ(x, y, z) - некоторая скалярная функция Тогда 13

Потенциальные поля Таким образом, элементарная работа δA в силовом поле, удовлетворяющем условию (1), равна полному дифференциалу (с обратным знаком) некоторой скалярной функции многих переменных Φ(x, y, z) Функцию Φ(x, y, z) называют 1 потенциальной функцией силового поля Соответственно, силовое поле, удовлетворяющее условию (1), называют потенциальным силовым полем Свойства потенциальных полей для элементарных перемещений на произвольном перемещении Элементарная работа, совершенная в потенциальном поле над телом, равна дифференциалу (с обратным знаком) потенциальной функции Работа по перемещению тела в потенциальном поле не зависит от формы траектории, а определяется только начальным и конечным положением тела A 14

Потенциальные поля Согласно условию (A), при движении по замкнутой траектории 1 Следовательно Работа в потенциальном поле по любой замкнутой траектории равна нулю 2 Силовое поле, удовлетворяющее условию (2), называют консервативным И мы получаем, что Если поле потенциально, то оно консервативно 1 2 15

Потенциальные поля Очевидно выражение (1) можно записать следующим образом Величина в скобках является вектором, - его называют оператор-вектор В физике, оператор-вектор называют - оператор «набла» действие оператора «набла» на скалярную функцию называют градиентом функции Градиент функции – это вектор, направленный в сторону быстрейшего возрастания функции С помощью оператора «набла» выражение (1) – условие потенциальности силового поля - получает наиболее лаконичную форму 1 16

Потенциальные поля В потенциальных полях множество точек поля, в которых потенциальная функция имеет одинаковые значения, называют эквипотенциальной поверхностью Уравнение эквипотенциалей В потенциальном поле - Φ Φ 4 Φ 3 Φ 1 Φ 2 т. е. сила направлена в сторону быстрейшего убывания потенциальной функции (Φ 1> Φ 3> Φ 4) и следовательно, всегда перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям Φ 2> Линия, касательная к которой в каждой точке совпадает с направлением силы в этой точке, называется силовой линией В потенциальном поле силовые линии и эквипотенциальные всегда взаимно перпендикулярны поверхности 17

Потенциальная энергия Как мы установили, работа в потенциальном поле равна Экспериментально измеримой физической величиной является работа, соответственно, потенциальная функция измерима только с точностью до произвольной константы – это означает, что в потенциальном поле любую одну потенциальную поверхность можно принять за поверхность с нулевым значением потенциальной функции Φ 0= В этом случае работа по перемещению тела из данной точки поля в точку с нулевым потенциалом, численно равна значению потенциальной функции в этой точке Численное значение потенциальной функции в любой точке поля (при заданном нулевом значении) называют потенциальной энергией тела, находящегося в этой точке Это означает, что 0 1 2 Φ 0 3 i Потенциальная энергия есть мера той работы, которую нужно совершить, чтобы переместить тело из данной точки в точку с нулевым значением потенциальной функции 18

Потенциальная энергия Учитывая, что потенциальная функция – это способ описания силового воздействия окружающего поля на тело, можно сформулировать следующее качественное определение потенциальной энергии потенциальная энергия - это мера взаимодействия тела, помещенного в данную точку поля, с окружающим миром потенциальная функция потенциальная энергия характеристика поля в данной точке характеристика тела в этой же точке Следовательно, для произвольных перемещений в потенциальном поле Соответственно, для элементарных перемещений И выражение (1) – условие потенциальности силового поля - получает еще одну форму 1 19

Закон сохранения энергии Итак, для элементарных перемещений в потенциальном поле Но по теореме о кинетической энергии для элементарных перемещений ---------------------------Изменим запись последней формулы мы определяем работу любых сил (потенциальных и непотенциальных) Итак для элементарных перемещений Дифференциал полной механической энергии тела, равен элементарной работе непотенциальных сил над телом Т. е. Величину называют полной энергией тела механической Для произвольных перемещений Изменение полной механической энергии тела на любом его перемещении равно работе непотенциальных сил над телом 20

Закон сохранения энергии Если элементарная работа непотенциальных сил равна нулю то полная механическая тела сохраняется энергия полная механической энергии тела сохраняется в любых состояниях этого тела, если в этих состояниях работа непотенциальных сил над телом равна нулю Частные случаи Если непотенциальные силы отсутствуют При движении тела в потенциальном поле его полная механическая энергия сохраняется При полном отсутствии сил (для свободного тела) полная механическая энергия тела очевидно сохраняется, но этот случай имеет очень ограниченное практическое значение 21