Л 4 Скорость при произвольном движении любое движение материальной точки можно разложить на движения: прямолинейное - вдоль радиус-вектора и вращательное - относительно начала СО Ускорение при произвольном движении 1
Типы ускорений Величину ar(t) называют ускорением прямолинейного (вдоль радиус-вектора) движения ---------------------------------------- Составляющую ускорения aξ называют переносным ускорением (оно характеризует изменение скорости при движении материальной точки по дуге моментальной окружности) ---------------------------------------- Составляющую ускорения ak называют кориолисовым ускорением (Кориолис) (это ускорение характеризует изменение скорости при движении материальной точки вдоль радиуса вращающейся моментальной окружности) 2
Восстановление уравнения движения По заданной скорости Пусть задан вектор скорости материальной точки как функция времени Откуда для dr получим Интегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t 0 до любого текущего t, найдем где r(t 0) – радиус-вектор точки в начальный момент времени Таким образом мы видим, что для восстановления уравнения движения по заданной скорости необходимо знать начальное положение материальной точки 3
Восстановление уравнения движения По заданному ускорению Пусть задан вектор ускорения материальной точки как функция времени Тогда для dv получим Интегрируя это уравнение в пределах от начального момента времени t 0 до любого текущего t, найдем где v(t 0) – вектор скорости в начальный момент времени Теперь, для восстановления уравнения движения воспользуемся предыдущим результатом – получим уравнение траектории по заданной скорости Таким образом для восстановления уравнения движения по заданному ускорению необходимо знать два параметра: начальное положение материальной точки и скорость в начальный момент времени 4
Принцип относительности Галилея Во всех инерциальных системах свойства пространства и времени одинаковы, также, и все законы механики Данное утверждение составляет содержание принципа относительности Галилея Формулы преобразования координат при переходе из системы К в систему К’ скорость 5
Преобразования Галилея для однозначного определения кинематических параметров, описывающих движение материальной точки относительно СО K, по измерениям, проведенным в СО K', необходимо знать связь моментов времени t и t’ В классической механике проблема взаимосвязи моментов времени в различных СО решается постулатом Галилея Моменты времени в различных СО совпадают с точностью до постоянной Обычно считают часы синхронизированными так, что const = 0, так что t = t’ несложно получить связь ускорений в произвольных СО, где ao ускорение системы K 0 относительно системы K Эти уравнения называют преобразованиями Галилея 6
Преобразования Галилея Среди всех возможных СО особое место занимает множество таких СО, которые относительно друга движутся с постоянными скоростями (т. е. их относительные ускорения = 0 ) Такие СО называют инерциальными системами отсчета (ИСО) преобразования Галилея для ИСО Последнее уравнение в преобразованиях Галилея для ИСО означает, что ускорение материальной точки во всех ИСО одинаково 7
Галилео Галилей Galileo Galilei 15. 02. 1564 - 08. 01. 1642 Родился в Пизе, Италия (Pisa, Italy) Умер в Арчетри, Италия (Arcetri) астроном, философ и физик важнейшие работы улучшение телескопа разнообразные астрономические наблюдения первый закон движения
ДИНАМИКА Динамика материальной точки 9
Законы Ньютона 1 Закон Ньютона Определение СО, в которых закон движения однозначно определен, если заданы: - начальные условия r 0=r(t 0), v 0=v(t 0) - функция, описывающая взаимодействие с окружающей средой F(r, t) называют ИСО Задача законов Ньютона – выяснить причины движения Z K 1 закон Ньютона ИСО существуют, как математическая абстракция реальных систем отсчета r = r(t) v(t 0) r(t 0) O X F(r, t) Y 10
Законы Ньютона 2 Закон Ньютона Сравним способы получения уравнений движения Кинематика СО 1 закон Ньютона ИСО v 0, r 0 r = r (t) a(t) v 0, r 0 r = r (t) F(r, t) Формулировка 2 закона Ньютона где m - инертная масса тела, F(t) - сила → F(r, t) ↔ a(t) в ИСО взаимодействие объекта с окружающей средой вызывает ускорение объекта в ИСО сила вызывает ускорение объекта 11
Законы Ньютона 3 Закон Ньютона в общем случае является универсальным законом взаимодействий Всякое действие вызывает равное по величине противодействие Формулировка 3 закона Ньютона При любом физическом взаимодействии, действие одного тела на другое вызывает равное по величине и противоположно направленное действие второго тела на первое F 12 силы, связанные по 3 закону Ньютона, приложены к различным телам F 21 12
Исаак Ньютон Isaac Newton 04. 01. 1643 - 31. 03. 1727 Умер в Лондоне, Англия (London, England) Родился в Вулсторпе, Англия (Woolsthorpe , England) физик, математик, астроном, алхимик и философ важнейшие работы закон всемирного тяготения дифференциальное и интегральное исчисления изобрел зеркальный телескоп
Эпитафия Ньютон умер в 1727 г. в Кенсингтоне и был похоронен в английском национальном пантеоне – Вестминстерском аббатстве На его могиле высечено: "Здесь покоится Сэр Исаак Ньютон Который почти божественной силой своего ума Впервые объяснил С помощью своего математического метода Движения и формы планет, Пути комет, приливы и отливы океана. Он первый исследовал разнообразие световых лучей И проистекающие отсюда особенности цветов, Каких до того времени никто даже не подозревал. Прилежный, проницательный и верный истолкователь Природы, древностей и священного писания, Он прославил в своем учении Всемогущего Творца. Требуемую Евангелием простоту он доказал своей жизнью. Пусть смертные радуются, что в их среде Жило такое украшение человеческого рода. Родился 25 декабря 1642 г. Умер 20 марта 1727 года"
Виды сил в механике точки при моделировании физического тела материальной точкой, все силы, приложенные к данному телу, должны быть приложены именно к этой точке (которая является центром масс) В механике материальной точки выделяют несколько видов сил 1. Заданные силы (обозначение - F) F Специально оговоренные силы 2. Cила тяжести (обозначение - Fg) Сила гравитационного взаимодействия данного тела с Землей Направлена всегда к центру тяжести Земли Величина → Fg= mg Fg 15
Виды сил в механике точки 3. Cилы реакции Силы, возникающие при непосредственном контакте данного тела с другими телами Различают два вида сил реакции N F T сила реакции опоры (обозначение - N) направлена перпендикулярно к плоскости опоры (или – к касательной плоскости) от опоры сила реакции нити (обозначение - T) направлена из центра масс вдоль нити Fg величина сил реакции определяется законами Ньютона 16
Виды сил в механике точки 4. Cилы трения (обозначение - Fтр) Силы, возникающие при реальном (или возможном) движении данного тела по поверхности других тел N Различают два вида сил трения сила трения покоя (Fтр)пок Вектор силы трения покоя Foтр является силой, уравновешивающей равнодействующую R всех остальных сил Собственно силой трения покоя называют проекцию вектора Foтр на плоскость движения · сила трения скольжения (Fтр)ск максимальное значение силы трения покоя (достигается, когда тело начинает двигаться) называют силой трения скольжения При этом где k - коэффициент трения (определяется свойствами соприкасающихся поверхностей) F T Fтр R Fo тр Fg 17
Полученное нами для инерциальной системы отсчета уравнение F = ma носит название второго закона Ньютона, самим Ньютоном он был сформулирован следующим образом: , где - импульс или количество движения материальной точки при скоростях движения много меньших скорости света v << c 18
Сила является векторной величиной и если на материальную точку действует несколько сил F 1, F 2, …, Fn, то результирующую силу можно найти по правилу сложения векторов F = F 1 + F 2 +…+ Fn Если известны фундаментальные законы взаимодействия: 19
то можно, решив дифференциальное уравнение второго порядка найти траекторию движения материальной точки как функцию времени Причем эта траектория задается единственным образом, если заданы значения координаты точки и ее скорость в произвольные моменты времени t 1 и t 2 20
Центр масс Ограниченное (в пространстве) множество материальных точек, произвольно движущихся в пространстве называют механической системой. Рассмотрим такую систему относительно некоторой ИСО K Воображаемую точку с радиус-вектором Z где i - номер точки, n количество точек, mi - масса iой точки и m - масса всей системы точек называют центром масс системы материальных точек Тогда скорость центра масс K rc O Y X 21
Центр масс Координаты центра масс радиус-вектор центра масс 22
Центр масс прямоугольного треугольника Треугольник разбивается на полоски массой радиус-вектор центра масс Координата центра масс Из подобия треугольников Аналогично для y: 23
Центр масс Z является первым динамическим параметром частицы и называется импульсом величину K rc называют импульсом центра масс Таким образом видим, что связь импульса Pc со скоростью vc такая же, как для точки с массой m O Y материальной (масса системы) X Другими словами понятие центра масс представляет строгую математическую процедуру сопоставления произвольной механической системе математически 24 точной модели
Теорема о движении центра масс ускорение центра масс Величина называется вторым динамическим параметром и, согласно 2 закону Ньютона, является силой, действующей на частицу Полученная формула является аналитической формой теоремы о движении центра масс При взаимодействиях каждой из частиц механической системы с окружающей средой, центр масс системы движется таким образом, как будто все силы, действующие на отдельные частицы системы, приложены к одной точке – центру масс 25
Теорема о движении центра масс Силы, действующие на каждую точку системы, разобьем на два типа – силы со стороны всех остальных частиц системы (внутренние силы) – результирующая всех внешних сил В общем виде: F 1 i F 13 F 12 m 3 m 1 (F 1)вш mi По 3 закону Ньютона И теорема о движении центра масс принимает вид: Если система находится во внешнем стационарном и однородном поле, то никакими действиями внутри системы невозможно изменить движение центра масс системы 26
Закон сохранения импульса Механическую систему называют замкнутой, если результирующая всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю следовательно ac = 0, т. е. центр масс замкнутой системы относительно произвольной ИСО движется либо равномерно и прямолинейно, либо находится в покое С другой стороны, если система замкнута Итак, получаем закон сохранения импульса Импульс центра масс (т. е. векторная сумма импульсов всех частиц) замкнутой системы сохраняется 27
Скачать презентацию Л 4 Скорость при произвольном движении любое движение
Л4_Мех_2012.ppt