Л 10 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Кинематика специальной теории относительности

Л 10 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Кинематика специальной теории относительности (СТО) 1

До опубликования в 1905 г. Эйнштейном теории относительности существовала идея «светового эфира» . С этой средой связывали «абсолютную» систему координат. Для проверки это предположения были поставлены опыты Майкельсона и Морли Цель эксперимента – обнаружить истинное движение Земли относительно «эфира» используя ее орбитальное движение (30 км/с). 2

Опыты Майкельсона Свет распространялся в перпендикулярных направлениях и сравнивалось время прохождения светом путей SAS и SBS. Если справедлив обычный закон сложения скоростей, то на пути SA скорость света относительно Земли равна c - V , а на обратном пути c + V. Тогда время прохождения пути SAS : На пути SBS скорость света относительно Земли равна и Разность времен не была обнаружена. Свет от источника всегда распространяется со скоростью c независимо от направления движения источника (приемника) света. 3

Т. О. , Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Его результаты оказались неожиданными для классической физики своего времени: независимость скорости света от направления и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать этот результат в начале XX века вылилась в пересмотр классических представлений, и привела к созданию специальной теории относительности. Ключевым для аксиоматики специальной теории относительности является принцип относительности, утверждающий равноправие ИСО. Второй постулат Эйнштейна, утверждает, что скорость света c не зависит от скорости движения источника и одинакова во всех ИСО. 4

Исходные постулаты СТО Принцип относительности Галилей Законы механики инвариантны относительно ИСО Эйнштейн Все законы физики инвариантны относительно ИСО Основной постулат СТО Существует такая скорость передачи взаимодействий, которая одинакова во всех ИСО – скорость света Дополнительный постулат СТО Согласно принципу относительности Галилея время и пространство абсолютны В СТО оба эти положения отвергаются И вводится дополнительный (к основному) постулат. Величину ds называют интервалом 5

Синхронизация часов в СТО Процедура синхронизации основана на основном постулате СТО → c = inv 1. Выбираем базовые часы и устанавливаем на них показания времени t 0 2. На всех остальных часах устанавливаем показания времени t 0 i (предварительно измерив расстояния li до каждых часов) 3. В момент t 0 запускаем базовые часы и одновременно посылаем сигнал со скоростью света на все остальные часы – в момент, когда этот сигнал достигает очередных часов, они запускаются t 0 l 1 t 01 l 2 l 3 t 02 t 03 6

Преобразования Лоренца 7

Промежутки времени в различных ИСО Рассмотрим две ИСО, движущиеся вдоль осей X-ов Y' Y K' K 0 dl Время в системе покоя называют собственным и обозначают τ (у нас τ=t') Z Время во всех остальных ИСО называют мировым и обозначают t R 1 Очевидно Z' v X' X где введено обозначение: γ - релятивистский фактор (Лоренц-фактор) промежутки времени по собственным часам всегда минимальны 8

Длина отрезка в различных ИСО Рассмотрим две ИСО, движущиеся вдоль осей X-ов Y Y' K' K l 0 - длина стержня в той системе, где он находится в покое (в – ИСО K') Время в системе, где часы находятся в покое является собственным Z v l 0 Z' X' X Тогда очевидно R 2 где γ - релятивистский фактор (Лоренц-фактор) Таким образом Длина стержня в системе покоя (собственная длина) всегда максимальна 9

Преобразования Лоренца Рассмотрим событие A из ИСО K и K' Сначала будем проводить измерения из ИСО K' R 3 При измерениях из ИСО K R 3 Y' Y K' K vt O Имеем A x' O' z' Z z Z' Тогда очевидно v x X X' R 4 10

Преобразования Лоренца при переходе от K - к K’ – системе имеют вид: При обратном переходе от K’ - к K – системе Преобразования Лоренца при V << c переходят в преобразования Галилея. 11

Закон сложения скоростей в СТО Рассмотрим произвольно движущуюся материальную точку из двух ИСО K и K' По определению Следовательно нам нужно найти связь И мы получаем Y' Y K' K R 5 Закон сложения скоростей для компоненты скорости точки вдоль скорости ИСО K' Далее Откуда несложно получить R 6 O Z O' v v X X' Z' Закон сложения скоростей для нормальных компонент скорости 12

Экспериментальное подтверждение СТО Эффекты сокращения масштабов и замедления времени: математические «издержки» ? . . или… физическая реальность? Время жизни - мезона в системе отсчета, связанной с частицей = 2, 6 10 -8 с. Скорость мезонов v=0, 75 c, следовательно пройденный путь должен быть 13

Экспериментальное подтверждение СТО Экспериментально измеренное расстояние Если учесть, что - мезоны являются движущимися часами, для правильного описания явления, время жизни - мезона нужно преобразовать к системе отсчета наблюдателя: Тогда, среднее расстояние: Это значение согласуется с экспериментом. 14

РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Динамика специальной теории относительности (СТО) 8

Релятивистская масса Потребуем выполнения закона сохранения импульса в K 1 системе: m 1 u = m 2 u’ Тогда: При 0 и u 0, m 1 – масса покоящейся частицы – (масса покоя m 0). При этом условии V = v m – релятивистская масса, m 0 – масса покоя. Обозначение релятивистской массы 11

Релятивистский импульс Импульс релятивистской частицы Так определенный импульс подчиняется закону сохранения независимо от выбора инерциальной системы отсчета. При v << c, следует ньютоновское определение импульса: масса m 0 – не зависит от скорости v

Основные динамические характеристики Основное уравнение релятивистской динамики Кинетическая энергия релятивистской частицы С учетом Отсюда , Имеем или Приращение кинетической энергии частицы определяется приращением ее релятивистской массы

Основные динамические характеристики Интегрируя: или Связь между энергией и импульсом частицы Имеем: Отсутствие зависимости от скорости означает инвариантность этой величины

Закон взаимосвязи массы и энергии Перепишем выражение для кинетической энергии частицы в виде Подчеркнем, что релятивистская масса является третьим понятием массы Масса тела в нерелятивистской механике: мера инертности мера гравитационного действия В релятивистской механике: новая функция массы - мера энергосодержания тела

Закон сохранения импульса Неупругое столкновение двух частиц (система замкнута) Навстречу движутся две одинаковые частицы 1 и 2 со скоростью v 0. В K - системе суммарный импульс частиц сохраняется В другой инерциальной системе? скорость системы отсчета K 1 вдоль x - v 1 x, а K 2 - v 2 x. Скорость частицы 1 в K 1 системе - u и частицы 2 в K 2 системе также u. 9

Закон сохранения импульса 2 Частица 2 в K 2 системе имеет скорость u и перемещается вместе с K 2 со скоростью V относительно K 1. В K 1 системе: u’- скорость частицы 2. Вектор скорости u в K 1 системе оси x. y - cоставляющая скорости частицы 2 в K 1 системе: y – cоставляющая импульсов обеих частиц в K 1 системе: m 1 u и m 2 u’. Т. к. u’ < u, закон сохранения импульса (в ньютоновской формулировке) не выполняется. 10