Квантовый компьютер и вычисления — А вы умеете

Квантовый компьютер и вычисления - А вы умеете складывать? - спросила Белая Королева. - Сколько будет один плюс один плюс один? - Не знаю, - ответила Алиса, - я сбилась со счета. Л. Кэрролл. Алиса в Зазеркалье. 1

Американский математик и физик венгерского происхождения Иоганн фон Нейман (1903 - 1957), автор трудов по функциональному анализу, квантовой механике, логике, метеорологии. Внес большой вклад в создание первых ЭВМ и разработку методов их применения. Американский физик-теоретик Ричард Филлипс Фейнман (19181988), лауреат Нобелевской премии по физике 1965 года за фундаментальные работы в области квантовой электродинамики. Разработал математический аппарат, сыгравший первостепенную роль в развитии квантовой теории поля. Квантовый компьютер и вычисления Американский математик Питер Шор, специалист в области квантовых вычислений. Предложил квантовый алгоритм быстрой факторизации больших чисел. Американский математик Лов Гровер, автор квантового алгоритма быстрого поиска в базе данных. 2

3

«. . . nature isn't classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you'd better make it quantum mechanical. . . » . Мы можем отбросить наши правила относительно того, что есть компьютер, мы можем сказать: «Пусть компьютер как таковой будет построен из квантовомеханических элементов, подчиняющихся к в а н т о в о м е х а н и ч е с к и м з а к о н а м » . Feynman R. P. Simulating physics with computers. //Int. J. Theor. Phys. 4 1982. Vol. 21. P. 467 -488

Квантовые вычисления Моделирование квантовых систем 1 частица – n уравнений: R. Feynman, Inter. Jour. Theor. Phys. 21, 467 (1982) L частиц – n. L уравнений! 5

Квантовые вычисления Применения Моделирование квантовых систем Фармацевтика Нанотехнологии • Квантовый алгоритм поиска в базе данных L. Grover (1995) • Факторизация больших целых чисел P. Shor (1994) Банки, передача данных • Квантовая криптография Оптимизация процессов: индустрия военные программы Bob Alice 6 Eve

Для задачи факторизации входными данными является число N, которое необходимо разложить на множители. Поэтому "длина" входных данных на классическом "двоичном" компьютере есть Iog 2 N. Основание 2 логарифма связано с использованием двоичной системы исчисления. Известно, что лучшие алгоритмы факторизации выполняются за число шагов, k, которое имеет следующий порядок k = Const • exp {(64/9)1/3(ln. N)1/3(lnln. N)2/3} Факторизация 129 разряд ного числа потребовала 500 MIPS лет, или восемь месяцев непре рывной работы системы из 1600 рабочих станций, объединенных через Интернет. А при числе разрядов порядка 300 это время существенно превзойдет возраст Вселенной даже если работать одновременно на всех существующих в мире машинах. Считается (хотя это и не доказано!), что быстрого алгоритма решения этой задачи не существует. На квантовом компьютере эта задача имеет всего лишь кубическую сложность! 7

Алгоритм Гровера GSA (Grover search algorithm) — быстрый квантовый алгоритм решения задачи перебора, то есть нахождения решения уравнения где f есть булева функция от n переменных. (Иногда GSA неточно называют поиском в базе данных). Предполагается, что функция f задана в виде черного ящика, или оракула, то есть в ходе решения мы можем только задавать оракулу вопрос типа: «чему равна f на данном x» , и после получения ответа использовать его в дальнейших вычислениях). То есть задача решения уравнения (1) является общей формой задачи перебора; здесь требуется отыскать «пароль к устройству f» , что классически требует прямого перебора всех N = 2 n вариантов. А л г о р и т м ы , и с п о л ь з у ю щ и е с х е м у Г р о в е р а 1) Алгоритм поиска экстремума целочисленной функции (P. Hoyer и др. ). Ищется наибольшее значение функции. 2) Алгоритм структурного поиска (Farhi, Gutman). Ищется решение уравнения (1) при дополнительном условии g(x 1) = 1 где x = x 1 x 2 разбиение строки x на две строки одинаковой длины. Алгоритм имеет сложность порядка квадратного корня… 3) Алгоритм поиска совпадающих строк в базе данных (Амбайнис). Ищется пара разных аргументов на которых функция принимает одно и то же значение. Алгоритм требует O(N 3 / 4) обращений к f. 8

Представление данных – Qubits Бит может представлен единственным атомом, который находится в одном из двух состояний, обозначенных |0> и |1> который называется кубитом. 9

Бит и кубит Bit & Qubit • Два состояния классического бита 1 0 • Двухуровневая квантовая система (кубит) Вектор поляризации: S=(Sφ Sθ SR=const) Матрица плотности: • Эквивалентность 1 • Операции с одиночным кубитом ≡ 0 ≡ 10

Запутанные состояния Entanglement + = + ≠ Неразделимые квантовые состояния: 11

Запутанные состояния Entanglement 12

13

Квантовый компьютер Идея квантового компьютера проста. В исправно функционирующем обыкновенном компьютере все биты в любой момент времени находятся в определенном состоянии, например 01110010. . . , Состояние квантового компьютера может быть описано волновой функцией, представимой в виде: Коэффициенты а, b, . . . — комплексные числа, причем вероятность того, что компьютер находится в состоянии 01110010. . . равна |а|2, что он находится в состоянии 11101010. . . равна |b|2, и так далее. 14

15

16

17

Обратимые вычисления Любой шаг вычислений требует энергии~k. T т. е. AND гейт Изменение бита от 2 к 1 требует энергии E = k. T log 2 Возможны ли вычисления без потерь? 18

Темный шар входит в ловушку из Y. В отсутствии светлого шара в ловушке темный шар проследует по пути HN. При наличии светлого шара (в это время начинающего движение в X) темный шар отклонит светлый шар от его первоначальной траектории ABCDEF на траекторию ABGDEF, а сам проследует по пути HIJKLM. 19

Гейт Тоффоли a a b b c c ab 20

21

Обратимый гейт Дейча a a b b c U c’ Для гейта Тоффоли 22

23

24

25

26

27

28

29

Конструкция AND-гейта 30

31

Алгоритм Гловера 32

Физические реализации кубита • Ловушки ионов и атомов • Квантовые точки Single QD Double QD E 2 e E 1 E 0 • Состояния фотона E 1 E 0 P • Спиновый кубит • Куперовские пары Cooper pair box e SQUID Nuclear spin (liquid state NMR, solid state NMR) I Electron spin S i N pairs - N+1 pairs - 33

34

Кадмий желтый перепутанный (Б. Блинов 2005 г. ) 35

36

Ga. As/Al. Ga. As гетероструктура для ионной линейной ловушки Захват одиночного иона Cd+ в Ga. As/Al. Ga. As гетероструктуре 60 мкм 37

Схема Т-образной двумерной ионной ловушки 38

Внешний вид Т-образной двумерной ионной ловушки 39

Результаты эксперимента по манипулированию ионами 40

University of Washington trapped ion quantum computing group 41

Hyperfine and Optical Barium Ion Qubits 42

43

Цветная микросхема сверхпроводящей цепи квантового компьютера NIST Чип использует кубиты (розовый цвет) для того, чтобы хранить квантовую информацию, квантовую шину (зеленый цвет) для того, чтобы транспортировать информацию, и (фиолетовый) переключатель, который "настраивает" взаимодействия между другими двумя компонентами. Все три узла были сделаны из алюминия на чипе сапфира. Переключатель - радиочастотное сверхпроводящее квантовое устройство интерференции, чувствительное к магнитному полю. Цепь работает с одним микроволновым фотоном. Изменяя магнитное поле можно изменить энергию связи или скорость передачи 44 единственного фотона между кубитом и шиной.

45

46

47

48

Experimental setup simulation of two-particle statistics (a) The parametric down-conversion based photon pair (b) Two copies of the quantum walk unitary (c) The detection scheme 49

50